Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Точки прикосновения

бокового регулюса

Гаака

Piz

= г ± т],е3

(43)

имеют абсциссы, равные по модулю кривизне комплекса, и называются точками Георгиева.

Приведем еще формулы для вычисления косины Ь и на­ клона а регулюса (18), получаемые с помощью формул (44) и

(46)гл. 1:

,_ со2flfco?- a,J m»I - о,? {(о,J )2 + К ) 2 }

а = — —

.

{(<4)2 +

Ю 2 } " 2

(44)

(45)

Формула (44)

позволяет

определить „основной

цилинд­

роид"

 

комплекса,

направляющая

плоскость

которого

парал­

лельна

касательной плоскости

 

цилиндра.

Для

него

6 = 0

и [е3,

de3]\\e2,

т. е. ш2 = 0 .

Поэтому уравнения,

определяю­

щие

основной

цилиндроид,

имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

0,2

=

COJ

=

0

 

 

(46)

или

в

терминах

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со1 : <ц1 : ю2

=

га

: (— Е,): 0.

 

 

 

Основной цилиндроид играет существенную роль в пост­ роении аффинной теории комплекса. Одна его точка прикос­ новения — несобственная, а вторая называется аффинным центром луча комплекса и имеет радиус-вектор

г* = г - — е3 = г +

еъ.

(47)

2u.i

3

2$,

 

 

 

 

§ 4. Касательные и соприкасающиеся линейные комплексы.

Две основные квадратичные дифференциальные формы

В теории линейчатых геометрических образов так же, как и в теории поверхностей существенную роль играет теория соприкосновений. Для регулюсов и конгруэнции эта теория развивается обычно в рамках аффинной и проективной гео­ метрии, но для комплексов она применяется и в пределах евклидовой геометрии.

В роли соприкасающихся образов в линейчатой геометрии могут выступать простейшие линейчатые геометрические обра­ зы: демиквадрика (т. е. одно семейство прямолинейных обра­ зующих поверхности второго порядка), линейная конгруэнция (т. е. совокупность всех прямых, пересекающих две данные —

J 82

действительные, мнимые или совпавшие прямые) и линей­ ный комплекс.

Понятие линейного комплекса принадлежит аналитической геометрии. Однако в стандартных учебных курсах оно обычно не вводится. К нему можно прийти следующим образом.

Рассмотрим

совокупность всех

прямых

 

 

 

 

R=-r

+

tn,

| я

; = 1,

 

 

(48)

удовлетворяющих

условию

 

 

 

 

 

 

(Q, п) 4- (N, [г, я]) = 0,

 

 

(49)

где Q и N-— некоторые заданные векторы.

 

Обозначим

координаты

векторов,

входящих в

уравне­

ние (49), следующим

образом:

 

 

 

 

г(х, у,

z),

п

(/, т,

п),

Q (Л, В,

С),

N(L, М,

N).

Тогда условие (49)

примет вид

 

 

 

 

 

А1 + Вт + Сп

4- L (ул. — zm)

-

 

4- М

(zl

-

хп)

+ N

(хт - yl) =

0.

(50)

Как известно, плюккеровыми координатами прямой назы­ ваются миноры матрицы

 

 

XQ ХХ

Х2

Х3

 

 

 

 

 

Уо >'l

У2 Уз

 

 

 

составленной

из

однородных

координат двух

точек:

 

M i

(А-0

: хх: х2 : х?)

и

N{yu:

у , : у.,:

у3),

 

принадлежащих этой прямой. Плюккеровы координаты

пря­

мой обозначают

так:

 

 

 

 

 

Ри =

X {Xi У] — xj yi),

/, j =

0, 1, 2,

3.

(51)

Эти координаты однородны, на что указывает общий мно, житель X. Среди них шесть существейно различных: роХ, ро2, Л)3' Pvii Ряи Р-г\, связанных „условием Плюккера:"

 

Ро\ Раз + РозРы + PwPii = 0-

(52)

Если

пару точек М\, М2

заменить

другой парой

точек той же

самой

прямой, то в силу

линейной

зависимости

радиус-векто­

ров новых точек от радиус-векторов старых плюккеровы ко­

ординаты

могут

лишь приобрести

новый

общий

множитель,

а отношения их не изменятся.

 

 

 

 

 

Условие (50) является самым общим линейным соотноше­

нием, связывающим плюккеровы

координаты

прямой (48),

т. е. миноры матрицы, составленной

из однородных

координат

ее

двух

точек:

собственной г (I

: х : у : г)

и

несобственной

п

(0 : /: т : п).

 

 

 

 

 

183

Поэтому совокупность

всех прямых

(48),

удовлетворяю­

щих условию (49), называют линейным

 

комплексом.

 

 

При J V = 0

получается

совокупность

всех

прямых

парал­

лельных одной и той же

плоскости (г, Q) =

0 (т. е.

пере­

секающих одну и ту же несобственную прямую), при Q = 0 —

совокупность

всех

прямых,

пересекающих

прямую

г

= \N\

если же Q±N,

то

можно

положить

Q =

[Л^, г0]

и

усло­

вие (49) будет условием пересечения прямых (48) с фикси­

рованной

прямой

г

= r0

+ IN.

Во всех

этих

случаях

линей­

ный

комплекс

называется

специальным,

 

а

прямая,

 

пересе­

кающая

все лучи

(48)

(может быть,

несобственная),

— его

осью.

Специальные

линейные

комплексы

получаются,

таким

образом,

тогда и только

тогда, когда

в

(49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q,

N)

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

(53)

Если

пару

точек

г,

п

заменить

парой

собственных

то­

чек

rx

=

r4~txn,

ri=r

 

+ t2n,

то

заменив

в

(49)

векто­

ры г

и л

на

гх

и

г 2

— г,,

получим

уравнение линейного

комплекса в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q,

г 2 — rx) +

(N,

гх,

г я )

=

0.

 

 

 

 

(54)

Если

фиксировать

 

одну

из

точек

г,

(или

 

/*2 ),

то

уравне­

ние (54) будет линейным относительно

координат

не

фик­

сированной точки

г 2 ( и л и

/у,.

Таким

образом,

задание

ли­

нейного комплекса устанавливает корреляцию в пространст­

ве:

точке

гх

соответствует

(проходящая через нее)

плос-

скость.

 

 

(г, N*)

+ D = 0,

 

 

 

(55)

где

 

 

 

 

 

 

 

N* =

Q+[N,

rx],

D = - ( r „

<?).

 

 

(56)

 

 

 

 

 

В этой корреляции (называемой иногда

„нуль-системой"

линейного

комплекса) каждой

прямой

соответствует

пучок

плоскостей. Действительно,

если положить

 

 

 

 

 

 

 

г х

= г 0 +

tl,

 

 

 

(57)

то

каждому

t соответствует одна плоскость из пучка

 

где

 

 

 

(r,N)

+

D=0,

 

 

 

(58)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N=

Q+[N,

r 0 ] +t[N,

I],

D=-(r0

+

tl, Q).

 

(59)

Таким образом,

прямой

(57)

соответствует

пучок

плоскос­

тей

(58).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямая,

которой в нуль-системе не специального

линейно

го комплекса соответствует пучок перпендикулярных ей плос­ костей, называется осью линейного комплекса.

184

Чтобы прямая (57) была осью неспециального линейного комплекса (54), необходимо, прежде всего, чтобы направле­ ние вектора N не зависело от параметра /, так как все пло­ скости пучка должны быть параллельны. Это возможно только при

\Nl}\\Q + [Nr0}.

(60)

Условие (60) должно выполняться при всех ос1 допус­ тимых значениях г 0 (ведь г0 есть радиус-вектор произволь­ ной точки прямой (57)), что возможно только при

Q\\{Nr0}\\[Nl}

или при

[М]= 0.

Ив том и в другом случае получается JV||/, И можно по­ ложить N=1 Таким ооразом, вектор N в уравнении (49) линейного комплекса определяет направление его оси.

Уравнение для определения г0 получается из условия перпендикулярности оси и плоскостей (58) и имеет вид

[IN\

= 0

 

или

 

 

[Q + [NrQ],

N] = 0 .

(61)

Пользуясь свойством двойного векторного произведения получаем

 

[QN\ + r0N*-(r0N)N=0.

 

 

 

(62)

Точку

г0 можно выбрать как точку пересечения прямой

(57)

с плоскостью, проходящей через начало

координат

и

пер­

пендикулярной этой

прямой, т. е. вектору N. Тогда (r0

N) = О

 

 

г „ = т а .

 

 

 

(бз,

 

 

 

N-

 

 

 

 

Итак,

ось линейного

комплекса (49)

имеет

уравнение

 

 

R

=

+ tN.

 

 

 

(64;

 

 

N2

 

 

 

 

 

Линейный комплекс (49) называется касательным

к

регу-

люсу

в данном луче,

если

он может

быть

получен как

пре­

дельное положение линейного комплекса, содержащего дан­ ный луч и близкий к нему луч регулюса , при стремлении по­ следнего к совпадению с первым.

Линейный комплекс, касательный ко всем регулюсам, про­ ходящим через данный луч комплекса и принадлежащим

комплексу, называется

касательным линейным

комплексом.

Чтобы

найти касательный линейный комплекс, надо под­

ставить в

уравнение (49)

векторы, определяющие

луч

185

Смотрите также файлы