Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

и

близкий к нему

R = г

4- te3,

(65)

R

= r+dr

+ t(e3 + de>)

(66)

и

потребовать, чтобы

послг

отбрасывания членов

второго

любого

рггулюса

(18),

т. е.

для

любых

значений

форм

ш1 : oi3 :<»з\ Внося (65)

и

(66)

в (49), получаем

(Qe3)

4- (Are,)

= О,

(67)

«?,

de3)+(N,

dr, e3)-{-(N,

r,

de3)

-

0.

Будем находить

координаты

L ,

М,

N и

А,

В, С

векто­

ров N и Q относительно

полуканонического

репера,

соот­

ветствующего

лучу

(65);

тогда

г =

0, и

подстановка

в

(67)

выражений

dr

и

из

деривационных

формул (8)

с

уче­

том

обозначений (9) дает:

откуда

С = 0, А =

-

L T ) , ,

В = — /Х„ М = L \ 2 ,

(67а)

-г-С3 е,), N

=

L(e,

<? =

- / . ( ъ е ,

- И 2 е 2

+

Хе3 ),

(676)

где

X. = / V : Z.

остается

произвольным*). Получился

пучок

касательных

линейных

комплексов. В каноническом

рзпере

этот

пучок

имеет уравнение

-

(«з я )

+

(е, -4- >>ем,

г, и)

= 0.

(68)

Оси

комплексов этого

пучка

суть

прямые

R

=

—2 -

е, +

* (*! 4- Хе,).

(69)

1 +

/ 2

В пучке

(68)

выделяется

линейный

комплекс

>. = 0,

харак­

теризующийся

тем,

что

его ось

совпадает

с

главной

нор­

малью R = te-i комплекса.

Он называется центральным

ли­

нейным,

комплексом.

Линейный комплекс, который может быть получен пре­

дельным

переходом

из

линейного

комплекса,

содержащего

данный луч

и два близких

к нему луча регулюса

(т. е. имею­

вается соприкасающимся

линейным комплексом

регулюса,

соответствующим данному

лучу.

гулюсом

(18).

Такой линейный комплекс

называется

сопри-

*) С л у ч а й L =

0, п р и в о д я щ и й к с п е ц и а л ь н о м у

к о м п л е к с у (см.

§ 12).

о с т а в л я е м

в стороне .

касающимся для

регулюса

комплекса. Для

его отыскания

на­

до

к условиям

(67 а)

присоединить

условие

Q, еъ

+

йе3 +

1

d*e3 j

+

г.

е.

(Q, d* е3)

+

2 (N,

dr,

de3)

+

(N,

d* г,

e3) = 0.

(70)

Фх =

1У (со1)2 + (у;2 2

-

2^).)

(«4)2

J

-

+ ( ^ М - : » ) ( « > ! ) Я

+

271,0)' СО» +

(71)

+

2 (С, +

X)0>, о)1 + 2 (т), rj 2

-

т13) о,' ш »

=

0.

Отсюда следует, что для каждого регулюса (18), не яв­

ляющегося

торсом

(т. е. при Ф, — 7j2

;<о')2 — ш2

т.

^

()),

мож­

но

из

(71)

найти

единственное

значение

>.,

е.

в

пуч­

ке

(68) — единственный

соприкасающийся

с

ним

линейный

комплекс.

Для

каждого касательного линейного

комплекса (т. е. для

каждого фиксированного

X) соотношение

(71)

дает

бесчислен­

При >, = 0

мы получаем

совокупность

регулюсов

Ф 2

= 5, (со* )2 +

т]2 2

(«,$)* +

_

:Я )(Ю §)« +

(72)

+ 21], СО1 CO1, - f 2;х

СО1 СО2 - f 2 (7), 7j2

— 7]3) СО1 СО | = О,

вая часть уравнения (72)), обращение которой

в

нуль

выде­

ляет асимптотические регулюсы. Обе эти формы

(так же, как

и пучок Ф А , ИМИ порождаемый, — левая часть

уравнения

(71)) играют большую роль в теории комплексов

и являются

относительно инвариантными даже в проективной

теории

комплексов.

§ 5.

Неголономные конгруэнции комплекса

(подмногообразия

Ч^)

В соответствии

с общей

теорией

подмногообразий

(см. ч. 1,

гл. 3) всякое линейное

уравнение

относительно

базисных

форм to1, со '

со'

определяет в комплексе неголономное под­

многообразие

Ч^г

(неголономную

конгруэнцию).

Через каж­

лежащих данному х ¥2 -

Полагая

для удобства

(73)

= Ю1 ;

CIJ | =

У>2,

СО1 =

О ) 0 ,

мы можем

записать

уравнение

произвольного

Ч72 в виде

а''ш/

= 0,

I =

0,

1,

2,

(74)

а'" х, = 0.

(75)

деляется

уравнением

Ф,

ЕЕЕи^СО» — <о*о>' = 0

(76)

ИЛИ в каноническом

репэре

с учетом обозначений (73)

урав­

нением

Фг

= ^<о1 - ^ ( ' о . 5 ) 2

= со0 со2 -7)2 (со,)2 = 0,

(77)

х о х 2 — Ъ Х 1

= 0 , .

(78)

относительно

которой

треугольник

А0

А\

А2

является

авто-

*) Э т а « д и а г р а м м а » в в е д е н а в н а ч а л е X X в е к а Ц и н д л е р о м [ 4 4 ] . С л е д у е т

з а м е т и т ь ,

что она

и з о б р а ж а е т л и ш ь

т а к

н а з ы в а е м у ю

п е р в у ю д и ф ф е р е н ц и ­

а л ь н у ю

о к р е с т н о с т ь л у ч а .

Э т о о з н а ч а е т ,

что

к а ж д о й

ее точке с о о т в е т с т в у е т ,

в о о б щ е

г о в о р я ,

не

о д и н

р е г у л ю с , п р о х о д я щ и й через д а н н ы й

луч, а

все

регу ­

л ю с ы ,

о п р е д е л я е м ы е у р а в н е н и е м

(18), в

к о т о р о м ф у н к ц и и

[ч

п р и н и м а ю т

з н а ч е н и я

х, при

Ui=u{,

где

ut

— з н а ч е н и я

г л а в н ы х

п а р а м е т р о в

д л я

д а н н о г о

луча . М ы

б у д е м

о д н а к о

в д а л ь н е й ш е м

д л я

у д о б с т в а

г о в о р и т ь о б

« о д н о м регулюсе»

(х0:хх:х^,

« о д н о м

торсе»

(лг0:дС]:х2)

и т. д .,

и м е я

в в и д у

о г о в о р к у , с д е л а н н у ю в д а н н о м з а м е ч а н и и и не п о в т о р я я

ее к а ж д ы й

р а з .

В т о м

ж е с м ы с л е

мы

б у д е м

г о в о р и т ь

и

об

«одной

н е г о л о н о м н о й

кон ­

г р у э н ц и и » .

&JxlXj=

О,

i,

у -

О,

1,

2,

(79)

где

а 0 1 =

Tjj, а 0 2 =

*.д,

а 1 2

=

ij, T J 2 —

vj3 .

(80)

Точкам координатного

треугольника

A g A j A j

естествен­

но соответствуют

простейшие

регулюсы:

Л 0 ( 1 : 0 : 0 )

0)2 =

0,

A t

( 0 : 1 : 0 )

со0

= о:2 =

0,

(81)

Л 2 ( 0 : 0 : 1 )

0)0 =

0 ! =

о,

А0

А,

ш2

=

0

^

=

^

=

0,

(82)

А 0

А2

со, =

0

а0

=

а2

=

0,

(83)

Ау А2

ш0

=

0

а1

=

а2

=

0.

(84)

Каждая из

этих простейших

неголономных

конгруэнции

характеризуется

прежде всего, тем, что ей

принадлежат два

из трех

простейших регулюсов

(81).

Все подмногообразия 4*2, для

которых а0

=

0,

называются

цилиндрическими,

так как они содержат цилиндр

o>i = o>2=0.

Им соответствует пучок прямых с вершиной А0

на

нашей ди­

аграмме. Среди

них находятся и неголономные конгруэнции

со2 =

0 и coi =

0. Первая из них

называется

бицилинбричес-

кой,

так

как

в

силу (77) она не содержит никаких

других

торсов,

кроме

цилиндра, а вторая — боковой,

так

как она

из них содержит только один торс, и называются

(по

анало­

гии с теорией обычных конгруэнции) параболическими

него-

лономными

конгруэнциями.

К ним,

кроме

бицилиндрической

конгруэнции

0)2 = 0,

прнадлежит и конгруэнция

соо =

0, тор­

сом которой

является центральный

торс.

Она

содержит и

центральный

регулюс. Будем называть ее

центрально-парабо­

лической, а

вообще

все

подмногообразия

Ч^,

содержащие

вторая г

е з I лежит посередине между горловой точкой

а1

а2

(85)

~

= -2s,

— = - 7 .

а"

а0

и записать уравнение (74) в виде

со1 =

— 2ewf —7.0)3.

(86)

Кроме того, мы имеем

( О 2 = — 7)2 О ) 3 .

(87)

Если ввести новые формы ш1

и ш2 по формулам

Ш1

== Ц)1

-f £0j| ,

(88)

о ) 2

= O J 2 - ) - е ш 3 ,

то (86) и (87) примут вид

OJ1

= — ecu3 — yis>l

(89)

Так как

ш2

== — У]2 o)J -f- eov3.

d(A

— z ег)

=

ш 1 е,

-f- ш 2 е2 4- «>3 е 3 ,

(90)

где

w3

=

a) 3 - cfe,

(91)