Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Ц = А - е е 3 .

(92)

Изучение всех подмногообразий

принадлежащих него-

груэнции, проведенного в § 3, гл. 2, если только

иметь в виду

соответствие обозначений

СО'

СО1'

— 7},>,

я - *

— е , г-^Ц

(93)

х

=

- £

( (

U '

• ' - ( X + TfeW ">g + e(q>»)a

( 9 4 )

(«>?)« 4-(<of)«

и параметр

распределения

=

т ; г К ) 2 - 2 £ ш ? а ) 3 - - Х ( т | ) 2

К ) 2 + Ю 2

Определяя экстремумы величины лгг, найдем

точки

Gi.2 =

Д ±

| /

+- - 1 (1 + *),)2

<?3

(96)

и соответствующие

регулюсы

(X + rj2) (ш?)2

- 4вш? «.в -

(X +

=

0,

(97)

которые по-прежнему будем

называть

граничными

точ­

ками

и главными

регул'осами

неголономной

конгруэнции

Регулюсы

* К ) 2 - г

( % + X K u > l - e ( c o ^

= 0

(98)

следует

называть

распределительными.

Уравнения

торсов

принимают

вид (ср. (77))

TJ2 (CO3 )2 -2ECO3 CO3 - Х ( С О « ) 2 = 0 ,

(99)

а их

горловые

точки

Fu=U±V*2

+ xn2 е3

(100)

по-прежнему будем

называть фокусами.

Однако они не образуют никакой поверхности

(если толь­

ко 4*2 не является голономным) и поэтому понятие

фокальной

(см.

(43), гл. 2)

Я / 1 =

Ы К -

(s - Р() М

е, -

{{г + Pi) h + Х>.3} е2,

(101)

где

pi,2 =

±

Vе2

+

Ъ А

:

^2 ~~ произвольное

число.

Из (96) и (100)

следует, что

наше новое

начало

Ц есть

середина

между

фокусами (или граничными точками) и естест­

венно назвать его центром луча

неголономной конгруэнции

(86).

Величина

е имеет инвариантный геометрический

смысл,

представляя

собой в силу

(92) абсциссу центра Ц относитель­

риситетом подмногообразия

(т.

е. неголономной конгру­

энции (86)). Отсюда следует,

что

центральные

конгруэнции

(а1 =

со = 0) характеризуются

совпадением центров Ц и А .

Что

касается средней поверхности и средней

огибающей,

то для неголономной конгруэнции эти понятия так же,

как и

понятие фокальной поверхности, теряют смысл.

Вычислив экстремальные значения параметра распределе­

ния, мы получим

(по аналогии

с § 5, гл. 2) полный и средний

параметры распределения

К = Ре, Ре, =

— е 2

— / 7 ) , ,

(102)

Отсюда

вытекает

геометрическая

характеристика

инвари

анта У.\

Х = Н + г}2.

(103)

Так

как инвариант Я иногда называют анормальностью,

то х можно назвать коанормальностью.

груэнции

будем называть коанормальными.

Эйлерова разность

Я2 —4К

в силу

(96)

будет,

как и

в случае

голономной

конгруэнции, равна квадрату

модуля

расстояния между

граничными

точками:

| G, - ; 0 2

! 2 =

4s2 + (TJ2

+ If =

Н- -

АК.

(104)

Чтобы

продолжить

соответствие

обозначений

(93), по­

ложим

где

ds =г0ш*

-f-e,u>J = 8 , 0 ) ?

+ е2 со3 ,

(105)

е, =

— 2ее 0 — е„ е2

= -

уе0 — е,.

Тогда

в силу

(91), (86) и (9)

ш з

=, _

( S i +

2 s s 3 + rl3) со? -

(ц + 7.S, + ; 8 ) ш » .

(106)

Кроме

того,

в силу

(9) и (86) для Ч>., имеем

ш ?

=

-

К

+

2е6.) со? -

('„ + ZE,)cu3 .

(107)

Поэтому

введем

обозначения

(108)

— ( 6 ,

+

Х?3

+

г8 ) = ^ _

(С, + z s,) = ^

ниях,

проводившихся

в гл. 2, подмногообразия

Wu

зада­

вавшиеся уравнениями

<»3i = 0 и со32 = 0 (в полуканоничес­

ком репере) были, вообще говоря, произвольными

(хотя за­

дание

одного из них уже определяло другое: вместе они об­

разовывали ортогональную сеть), то в неголономной

конгру­

энции они определяются

единственным образом, как

только

задана

уравнением (86) или (74) сама конгруэнция. На диаг­

рамме им соответствуют

точки пересечения прямой a1

xt

— 0

с прямыми ЛИ г и А\А%.

Они характеризуются и рядом

гео­

13. З а к а з 6667.

193

люса

©3i =

0 — коанормальности

(с обратным знаком). По­

этому удобно называть регулюсы

ш31 =

0 и со32 =

0 (в

комп­

лексе

они

имеют уравнения

co3i = co1 +'x( o 3 2 = 0

и

и 3 2 =

= co'+2eoj3i = 0 ) основными регулюсами

неголономной

кон­

Так, например, нормальными

неголономными

конгруэнция-

ми

можно назвать те, которые

характеризуются

обращением

в нуль среднего параметра

распределения, т. е. соотношением

Х =

Т12.

(ПО)

Нормальные неголономные конгруэнции можно также ха­

рактеризовать перпендикулярностью

фокальных плоскостей,

так

как соответствующая выкладка

(ср. § 9, гл. 2)

сохраня­

ется

(с изменением обозначений

по схеме

(93),

(109)).

ции е

и % (или а° : а1

: а 2 ) ,

то

очевидно,

что конгруэнции

такого

класса имеются

в произвольном комплексе. Если ж е

из указанных'соотношений

(в

частности,

если их будет