Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Одним из условий, которые можно наложить на подмно­ гообразие Ч^, является условие голономности, т. е. условие вполнеинтегрируемости уравнения (74):

 

 

 

 

 

[D(aJu>i),

 

a'ttb] = 0 .

 

 

 

 

( I l l )

В терминах (86) это условие можно

 

записать

так

(учи­

тывая

(16)):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

{?i (2%Х +

4s* +

X») 4 - 2щщ-+ чз. +

 

(112)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ч2 м) [«>>!] = о.

 

 

 

 

Положив

(ср. (105))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

de =

s0 со1 +

в, о)J +

s2 о)| =

(в, +

2ее0)со3

+

(е2 + Хе0) ш|,

(113)

 

 

dV. =

Х„w l

+

'/, «4 +

Х2

со I

=

(X,

+

2е"/0) ш3

+

 

 

 

 

 

 

 

+

(72

+

Г/0 )с»1,

 

 

 

 

можно

привести

(112) к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х , + 2 е Х 0 - 2 ( е 2 - | - Х е 0 )

+

2е7}1 +

 

(114)

 

 

 

+ ^з + ^ С , + S1 (2I)2 X + 4E» + X 2 ) = 0 .

 

 

 

 

 

 

При

выполнении

этого соотношения

комплекс расслаивает­

ся на оо1 голономных конгруэнции ш1 =

2ешя - j - Хш?.. Так как

при

этом

(см. (85))

исключены

цилиндрические

конгруэн­

ции, найдем отдельно условие голономности для цилиндри-'

ческой

конгруэнции

.«о* =

Aojj

 

 

 

s >

(115)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и для

бицилиндрической

ш | =

0.

Для первой

получим

 

 

 

 

 

 

Е,(1 + / 2 ) - / 0

=

0,

 

 

(116)

где,

как

обычно,

/„

берется из

 

 

 

•>

..••.(

 

 

 

di

=

i 0 ^

;

•:

/соь

:

; (

П

7 )

а для

второй просто

£ , = 0 .

 

 

 

 

(118)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

последнее

уравнение

(совпадающее

с

(116)

при

/ =

0),

содержит

только

инвариант

комплекса

| i , то

мы

по^

лучаем

важный результат: только

в

комплексах

(118)

могут

существовать голономные боковые и бицилиндрические кон­ груэнции. Мы вернемся ,к этим комплексам, в § 14. Заметим»

однако, уже сейчас, что в этих

 

комплексах

голономны и

все

те цилиндрические

конгруэнции

(115);, дли

которых [dl,

ю'з.

ю 2 з])= 0, т. е. /о =

0.

-

Ь

 

-|

§ 6. Фокальные

неголономные поверхности

Выше мы заметили, что для неголономных

конгруэнции

понятие фокальной поверхности теряет смысл.

 

Однако

можно ввести

понятие

фокальной

неголономной

поверхности. Напомним,

что термин «неголономная поверх­

ность» означает (см. ч. 1, гл. 3, § 4)

совокупность интеграль­

ных кривых

некоторого уравнения

Пфаффа,

связывающего

координаты

переменной

точки пространства.

Геометрически

это эквивалентно заданию голономного трехпараметрического геометрического образа, элементом которого является точка

вместе с инцидентной ей плоскостью (являющейся

совокуп­

ностью касательных

к интегральным

кривым,

проходящим

через эту точку).

 

 

 

 

 

Зададим на каждом луче комплекса

точку

 

 

 

M = r +

te3

 

 

(119)

(здесь t—функция

первичных

параметров).

Мы

получили

трехпараметрическое

множество точек. Если

каждой точке

ассоциировать плоскость, то получится

неголономная поверх­

ность. Эти плоскости можно задать уравнением Пфаффа на

координаты точки М, что равносильно заданию

уравнения

Пфаффа на главные параметры

комплекса:

 

а1ш1 =

0,

(74)

т. е. заданию неголономной конгруэнции комплекса. Итак, чтобы задать неголономную поверхность, инвариантно свя­ занную с комплексом прямых, нужно 1) задать (геометриче­ ски инвариантно) на каждом луче комплекса точку М, 2) задать неголономную конгруэнцию комплекса.

Но можно сначала задать неголономную конгруэнцию (гео­ метрически инвариантное подмногообразие 4*2, определяемое уравнением (74)), а затем задать точку М, инвариантно свя­ занную с этой конгруэнцией. Мы получим тогда неголоном­ ную поверхность, инвариантно ассоциированную с заданным 4*2. Чтобы определить плоскость, соответствующую точке М, достаточно вычислить dM при условии (74):

dM =

( К + гЧ) ех + (у]2 щ

+

*Ч) ег

4-

+ (£з <°0

4- си, + : 3 у>2

4- dt)

e3}ai

«>, =

0.

Если записать уравнение (74) в виде (86), то получим:

dM =

о»'}{(* + 2е) ех

+ ъ е2 4- (2е&,

+

+ ч , + 2гР 4- г1 ) е,) - «>S [Xet

+ te2 +

(120)

+

(Х 5, + С +

+

 

 

(121)

г де

dt = tl

СО; .

 

 

1 9 6

Два вектора,

стоящие

в фигурных

скобках,

и

определяют

искомую плоскость. Ее

нормаль

параллельна

вектору

 

я =

И - 2 s

7 j 2

Ыг

+

% 4 - 2 е * о 4 - / '

-

 

( 1 2 2 )

 

X

t

Д 3

+ ^з

+

tn +

fi

 

 

 

Отсюда сразу видно, что эта нормаль перпендикулярна

лучу

только при

( 0 3

+

2 г ? - х ъ

=

0,

 

 

 

(123)

 

 

 

 

т. е. только в фокусах неголономной конгруэнции

(86).

 

Следовательно, единственными точками луча

неголономной

конгруэнции,

с которыми

ассоциируются

неголономные

по­

верхности, касающиеся лучей конгруэнции, являются фокусы. Поэтому естественно называть эти неголономные поверхности фокальными.

Итак, фокальная неголономная поверхность есть неголономная поверхность, задаваемая при помощи уравнения него­ лономной конгруэнции и одного из ее фокусов.

Легко проверить, что плоскость, определяемая нормалью п для неголономной фокальной поверхности данной неголоном­ ной конгруэнции, совпадает с соответствующей фокальной плоскостью: достаточно сравнить выражение (122) с (101) и заметить, что скаляры последнего столбца определителя (122) играют роль произвольных Ль \% формулы (101).

§ 7. Неголономные конгруэнции в полуканоническом репере

Для изучения неголономных конгруэнции (и вообще лю­ бых подмногообразий) удобно применить полуканонический репер. Таковым в нашем случае является репер, введенный в § 1. Уравнение Пфаффа

со1 =

0

(124)

определяет произвольную

неэллиптическую

нецилиндричес­

кую, неголономную конгруэнцию комплекса. Исключение из рассмотрения цилиндрических неголономных конгруэнции, ко­ нечно, неприятно, но их исследование было достаточно продви­ нуто в каноническом репере.

Более существенным является исключение эллиптических

конгруэнции.

 

 

В самом деле, торсы неголономной конгруэнции

(124) оп­

ределяются вытекающим

из условия

 

(dr, е3, de3) = 0

 

уравнением

 

 

fflj(w>i

4 - i > i ) = 0 ,

(125)

197

а фокусами являются всггда действительные точки

 

F { = r,F2

=

г - ^ e 3 ,

 

(126)

Таким

образом, неголономная

конгруэнция

(124)

всегда не­

эллиптическая и не может быть цилиндрической.

Следова­

тельно,

ни эллиптические,

ни

цилиндрические неголономные

конгруэнции нельзя задать

уравнением (124)

ни в каком по-

луканоническом репере, а при заданий их общими уравнения­

ми вида (74) теряется та выгода, которая

обеспечивается

простотой уравнения

(124).

 

 

 

 

 

Центром

конгруэнции (124)

является

точка

 

 

 

У

=

г~1-12е-л.

 

 

'

(127)

:

Нормали

фокальных

неголономных поверхностей

найдут­

ся

(имея в виду результаты предыдущего

параграфа)

в: виде

 

 

« i | [ № ) - » ' - « . з - о , е3]\\еи

 

 

...(128)

 

» 2 l l l ( ^ 2 ) . « > ! f f v U c ^

= o, e 3 l l h ^ i

+

^е».

,029)

 

Таким образом, полуканонический репер

комплекса явля­

ется «фокальным» каноническим репером неголономной кон­ груэнции (124): его начало находится в фокусе, а вектор ех направлен по нормали соответствующей фокальной неголо­ номной поверхности.

Определяя обычным путем абсциссу хг горловой точки и

параметр р

распределения произвольного регулюса со3 : а ,

конгруэнции

(124), получаем

 

 

_ ( ? . m i + > i > ° l

( 130)

 

W ) - 2 + K ) a

'

Ю ' + К ) 2 '

Определяя экстремумы этих выражений, найдем главные регулюсы

 

^ { « Г + ЫУ-]

- 2

> 3 w

i = 0

(132)

и граничные

точки

 

 

 

 

 

С„2

= г — ^- :,е3

±-^-у

С* -г- ti\ е з .

О 3 3 )

а также полный

и средний

параметры

распределения:

 

 

к = —ц,

н =

- г 1

2 .

(134)

 

 

4

 

 

 

 

 

Заметим,

что

«координатные»

(относительно

полуканони­

ческого репера)

регулюсы

со'з =

со2з = 0, со1

= ю'з = 0,

198

со1 = со2з = 0 опять имеют простые геометрические характерис­ тики. Именно первые два являются соответственно цилинд­ ром и тем торсом неголономной конгруэнции (124), фокус которого не совпадает с началом репера. Для третьего дери­ вационные формулы можно -записать в виде

 

dr

= — {v\2e2 +

ъе3) <•>?,

 

 

dex

= (

— 7),е2

+

е3) <ия,

 

(135)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

de2

=

t\xe^\,

 

 

Отсюда

 

de3

= — e: i oj3 . *

0

характеризуется

видно, что регулюс

со1 =

со2з =

совпадением его канонического

репера

с

полуканоническим

репером

комплекса. Назовем

его по аналогии с § 3 полуцент­

ральным

регулюсом.

Тогда торс со1

= ю'з =

0 естественно на­

зывать

полуцентральным

торсом.

Рассматривая деривацион­

ные формулы координатных регулюсов легко получить гео­ метрические характеристики всех коэффициентов деривацион­ ных формул полуканонического репера, в том числе и инва­

риантов т)2, r\i. С2, Сз, . T ] I , >i 'подмногообразия

(124). Форму­

лы же

(126) — (130)

показывают связь последних с простей­

шими

инвариантами

неголономной конгруэнции.

',

Мы имеем теперь возможность характеризовать целый ряд классов неголономных конгруэнции при помощи их «нату­ ральных» уравнений, записанных в терминах полуканоничес­

кого

репера:

 

 

 

 

1)

г)2 =

0 — нормальная

неголономная

конгруэнция (фо­

кальные

плоскости в силу

(128)

и (129)

перпендикулярны,

средний параметр равен нулю и

т. д.);

 

2)

£2 =

0 — параболическая

неголономная конгруэнция

(фокусы

(126)

и торсы (125) совпадают;

полный параметр

равен

нулю

и

т. д.);

 

 

 

3)т)1 — 0 — неголономная конгруэнция, у которой в силу

(135)полуцентральный регулюс является цилиндроидом;

4)

ч з =

0 — полуцентральный

регулюс

является бинор­

мальным

(наклон равен нулю в силу

(135);

 

5)

£j =

0 — полуцентральный

торс

является

плоскостью,

так как

косина распределения его

обращается в нуль:

 

 

 

(е3, de3, d2e3)^ _ <U3 _ 0

= 0;

 

6)

С3

=

0 — начало полуканонического

репера

описывает

на полуцентральном торсе ортогональную

траекторию:

 

 

 

(й(г)ш. _ш ' = о

-Le3.

 

 

 

Хотя инварианты d, ?2, Е3 и не входят в деривационные формулы канонического репера подмногообразия (124) (ко-

199

Смотрите также файлы