Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

1 а

+1

\

2 t, сек.

V/1 ^

-i-:r.-.=h-

Рпс. 1. Фазовый портрет

О б ъ я с н е н и я в тексте

Преимущественной областью применения динамического про­ граммирования являются дискретные, нелинейные и стохасти­ ческие системы.

Однако в настоящее время трудами советских ученых развито применение принципа максимума к стохастическим (Стратонович, 1966; Хазен, 1968; Фельдбаум, 1963; Шапиро, 1968), нелинейным

Пропой А. И. О задачах дискретного управления с фазовыми ограничения­ ми.— Ж. вычислит, математики и математической физ., 1972, № 4.

32

Глава 1-3 ТЕОРИЯ ИГР

Теория игр есть теория математических моделей принятия оп­ тимальных решений в условиях конфликтов или неопределенно­ сти (Воробьев, 1968).

В соответствии с приведенной формулировкой основным объ­ ектом изучения теории игр являются модели принятия оптималь­ ных решений в условиях конфликта. Подобные модели назы­ ваются играми (Фон Нейман, Моргенштерн, 1970).

Введем некоторые определения. Стороны, участвующие в кон­ фликте и принимающие решение, называются коалициями дей­

выражение формально характеризует все элементы коалиции, их возможности, правила игры и цели игры.

Очевидно, что наиболее характерным признаком игры является множественность коалиции интересов. Если это множество пусто, то его игровая сущность вырождается. Исследование тогда про­ изводится иными математическими методами.

В основу классификации игровых задач могут быть положены различные признаки:

— множественность или единственность коалиций действия;

—тип моделей, характеризующий взаимосвязи (вероятностнологические модели, дифференциальные модели, графы); '

—цели игры («уничтожение противника» или нахождение ком­ промисса) и т. д.

Достаточно полной классификации игр в настоящее время еще не существует. Пусть і?а и Ru — семейства подмножеств некоторого множества / , элементы которого называются игроками. Можно считать, что всякое подмножество коалиции действия само яв­ ляется коалицией действия. Практически это предположение ни­ как не умаляет общности рассмотрений.

Пусть каждому игроку і ЕЕ / поставлено в соответствие мно­ жество ST (множество индивидуальных стратегий игрока і). По­ ложим для каждого К ЕЕ і?э

и множество Т, элементы которого обычно можно интерпретиро­ вать как моменты времени, и фиксируем отображение

f:S->2TxX

34

(т. е. / ставит в соответствие каждой ситуации игры функцию, за­ данную за Т со значениями в X). /-образы ситуаций называются партиями, и на каждой партии fs (где s Œ S) задаются численные выигрыши hi (/s ) каждого из игроков і еЕ / . Так, заданные вы­ игрыши определяют функцию выигрыша игроков:

Ht (s) = hi (f.).

Конкретизированную описанным образом бескоалиционную игру

ситуация определяет некоторую партию, которую в данном случае принято называть траекторией. Определяемые через ср траектории /s: Т ->- X оказываются однозначными функциями.

Так, определенная игра Г называется дифференциальной иг­ рой. Задача теории дифференциальных игр может быть сформули­ рована следующим образом (Айзеке, 1967).

В некотором векторном пространстве задано дифференциальное

правая часть которого зависит от двух управляющих параметров и ж v. Кроме того, в пространстве R задано многообразие M про­ извольной размерности.

Игра состоит в том, что определенным образом задается изме­ нение во времени управляющего параметра ѵ, а значения управ­ ляющего параметра и выбираются так, чтобы некоторый функцио­ нал (в теории игр называемый платой)

J=\G{z,u,v)-dt+R{T)

о

принимал экстремальное значение. Игра считается законченной, когда

z e M .

Динамика игры рассматривается в фазовом пространстве коор­ динат (см. главу 1-2). Вид функционала определяется конкретной задачей. Большинство практических случаев охватывается двумя

2* 35

типами функционалов: при G "= 0 игра имеет терминальную пла­

теризует состояние в конечный момент. Наиболее распространен­ ным классом дифференциальных игр являются игры преследо­ вания, т. е. перехваты одного управляемого объекта другим

с помощью теории дифференциальных игр. Впервые на это указал Я . 3. Цыпкин (1968).

Система управления:

J(u(t),x0)=\\l-x(t)\dt.

о

Ограничения на управление

0 < и ( * ) < 1 ,

т

\о и (t) dt = T1.

Для перехода к игровой задаче введем очевидное тождество

36