Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

кое в.п.в. реализуемо. Таким образом, можно считать, что каждая

NiW.s.Nxlt-i).

N3(t).=.N,(t-i) VN2{t-l)

Л/3 («) =.УѴ,(*-1).Л/2 (<-1).

W3(i).=.Wi(<-l)yW2U-l).

Рис. 3. Примеры нейронных структур (а, Ь, с, d)

сеть строится из основных элементов в точности так же, как соот­ ветствующее в.п.в. порождается операциями предшествования дизъюнкции, конъюнкции и конъюнктивированного отрицания.

В частности, для всякого описания состояния, т. е. распределе­ ния значений истинности и ложности действий всех нейронов не­ которой сети, за исключением случая ложности действий всех ней­ ронов, можно построить некоторый нейрон, возбуждение которого необходимо и достаточно для справедливости этого описания. Кро­ ме того, всегда существует бесконечно много топологически раз­

ваний вида р (zx — zz) (где zz-произвольное число) посредством от­ рицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалент­ ности. Тогда S± есть в.п.в., которое ложно только в случае, если

41

все его конституэнты р (zx — zz) ложны, т. е. заменены ложными высказываниями, или если в последней линии таблицы истин­ ности для Si содержится F, или же в гильбертовой дизъюнктив­ ной нормальной форме для Si нет членов, состоящих из одних от­ рицаемых элементов.

Метод последней теоремы обеспечивает удобную и практичную процедуру для построения требуемой нервной сети в тех случаях, когда в предписанные условия не входят события из неограничен­ но далекого прошлого. В качестве примера можно рассмотреть ощущение тепла, вызываемое кратковременным охлаждением.

Если на мгновение приложить к коже холодный предмет, а затем убрать его, то возникнет ощущение тепла. Если же его про­ держать более долгое время, то будет ощущение только холода без предшествующего ощущения тепла, хотя бы непродолжитель­ ного. Известно, что одни кожные рецепторы возбуждаются теп­ лом, а другие — холодом. Если Т Ѵ і и 7Ѵ2 — действия соответствую­

щих рецепторов, а Лг 3 и — действия нейронов, возбужденность которых влечет ощущения тепла или холода, то требования могут быть записаны так:

где предполагается для простоты, что продолжительность, требу­ емая для ощущения холода, равна двум сииаптическим задерж­ кам, а для ощущения тепла — одной. Эти условия подходят, оче­ видно, под теорему 3. Можно поэтому построить реализующую их сеть с помощью метода теоремы 2. Сначала запишем их способом, выявляющим их построение из конституэнт посредством опера­ ций в виде

Построим, во-первых, сеть для функции, заключенной в наибольшее'число скобок, и будем двигаться наружу; в этом случае мы соединим сетью 0 нейрон с2 с некоторым нейроном, скажем са, так что

Na(t).=.SN2(t).

Введем затем две сети, соединяющие са и с2 соответственно с Сп и сь. Тогда

N,{t)=.S[Na{t).N2{t)].^.S [SN2(t)].N2(t)h Nb(t)~.S [Na(t).ooN2(t)].=.S[(SNt(t)).ooNt(t)].

Наконец, проведем сеть от d и cb к с 3 и получим

Это — желаемые выражения для N3 (t) и Л'4 (i).

42

Теперь рассмотрим некоторые теоремы эквивалентности, т. е. теоремы, устанавливающие тождественность (если не считать вре­ мени) различных законов нервного возбуждения. Разберем сна­ чала случай относительного торможения. Под этим мы понимаем предположение о том, что возбуждение тормозящего синапса не исключает абсолютно возбуждения нейрона, но лишь увеличи­ вает его порог, так что для возбуждения нейрона требуется од­ новременное возбуждение большего числа возбуждающих синап­ сов, чем было бы нужно в противном случае. Без ограничения общности можно принять, что порог увеличивается на единицу

нение порога с точностью до ближайшего целого числа и только с такой точностью имеет значение при естественных типах возбуж­ дения, что может быть записано как последовательность Э4 -f- bj

bj тормозящих синапсов на с\. Очевидно, что это обеспечивает же­ лаемый результат. Обратная замена может быть выполнена с помощью

Теорема следует из транзитивно сти замены.

Т е о р е м а 6. Облегчение и временная суммация могут быть заменены пространственной суммацией.

43

Это очевидно; достаточно лишь ввести подходящую последова­ тельность цепочек задержки (с возрастающим числом синапсов) между возбуждающей клеткой и нейроном, на котором хотят иметь временную суммацшо. Предположение пространственной суммации даст тогда требуемый результат. Эта процедура показывает, что наблюдаемая в больших сетях временная суммация не обяза­ тельно предполагает подобный механизм взаимодействия индиви­

Следует также отметить, что нейрон, который становится и ос­ тается активным самопроизвольно, может быть аналогичным об­ разом заменен петлей, приводимой в активность посредством од­ ного рецептора в начале активности и тормозимой другим при ее прекращении.

Таковы основные теоремы теории для сетей без петель. Теория нервных сетей в нейрофизиологии указывает на раз­

личие между сетями, необходимыми или'достаточными для заданной активности. Это помогает выяснить соотношение между нару­ шенной структурой и нарушенным функционированием. Приме­ нительно к математическим исследованиям эта теория представ­ ляет способ строгой символической трактовки сетей и метод конструирования гипотетических моделей сетей с заданными свойствами.

Работы Мак-Каллока и Питтса послужили основой для боль­ шого количества исследований, развивающих теорию автоматов — моделей нервной системы и поведения.

В 1958 г. Мак-Каллок1 предложил новую модель формального нейрона, в которой ошибка считается органическим свойством нейрона. Подобный подход увеличивает адекватность модели реальности.

Однако для моделирования физиологических процессов в го­ ловном мозге, по-видимому, недостаточно подобного логического подхода.

В исследовании нейронных сетей сделан качественный ска­ чок в связи с работами Ф. Розенблатта (1962). Основная его идея сводится к попытке замены при исследовании физиологических систем логического подхода к решению статистическим.

Системы, действующие на основе статистических принципов, автор называет «персептронами». Каждый персептрон состоит из некоторого множества элементов, связанных в единую сеть, и ге­ нерирующих сигналы. При получении входного сигнала каждый

44

данное множество принимающих элементов. Персептрон имеет сенсорный вход (множество элементов, реагирующих на сигналы из внешней среды) и один или несколько выходных элементов.

Логические свойства персептрона определены его топологиче­ ской структурой (связями между элементами, генерирующими сигналы); набором функций распространения сигналов (алгорит­ мов, управляющих генерацией и передачей сигналов); набором функций памяти (алгоритмов преобразования свойств сети). Исследования с помощью персептрона проводятся в системе, со­ стоящей кроме него из окружающей среды и «экспериментато­ ра» (человека или машины), формулирующего алгоритмы преобра­ зования или вырабатывающего подкрепление состояний памяти персептрона. В подобных исследованиях определяются свойства класса персептронов, топологическая структура которых опреде­ лена некоторым статистическим распределением. Поведение пер­ септрона определяется не заданными заранее логическими алго­ ритмами, а некоторым смещением характеристик.

В теории персептронов используются следующие основные оп­ ределения.

Сигнал — любая измеримая переменная величина, характе­ ризуемая амплитудой, временем и местоположением.

Генератор сигнала — любой физический элемент или устрой­

определяющая закон изменения амплитуды сигнала, производи­ мого генератором сигнала.

Связь (сц) — любой канал, с помощью которого сигнал, вы­ рабатываемый одним генератором (начальный элемент, вход),

(щ и Uj) и передающей функцией /. Эта функция определяет ампли­ туду сигнала, поступившего на выход, как функцию амплитуды и момента появления сигнала, генерируемого входом. Сигнал на выходе обозначается s0 - (t). Передающая сеть — система соеди­ ненных в сеть генераторов сигнала. Персептрон можно предста­ вить как передающую сеть, состоящую из генераторов сигнала трех типов: сенсорных элементов S, ассоциативных элементов А и реагирующих элементов R. Сенсорный элемент — любой чув­ ствительный элемент, вырабатывающий сигнал, который явля­ ется некоторой функцией входной энергии. Входной сигнал Si,

45