Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

На основании теоремы о минимаксе

т

т

min max \w (1 — x (t))dt = max min \ w (1 — x (t)) dt,

u | » | < 1 ; 0

IWI < i и 0

- Tr е. и* и u;* образуют седловую точку.

Если

U — множество

функций и,

удовлетворяющих

ограни­

чениям,

а И7 — множество

функций,

удовлетворяющих

условию

Л И Т Е Р А Т У Р А

Айзеке Р. Дифференциальные игры. М., «Мир», 1967.

Воробьев

H. Н. Современное состояние теории игр.— Докл. на I Всес. конф.

по .теории игр. Ереван, 1968.

Красовский

H. Н. Игровые

задачи о встрече движений. М., «Наука»,

1970.

Фон Волъферсдорф

Л. Минимаксная задача в теории автоматического

управ­

ления.—Тезисы докл. I I Всес. конф. по теории игр. Вильнюс,

1971.

Фон Нейман

Док.,

Моргепиітерн О. Теория игр и экономическое поведение.

М.,

«Наука»,

1970.

Цятлин

М- Л. Исследования по теории автоматов и моделированию

биоло­

гических процессов. М., «Наука», 1969.

Цыпкин

Я.

3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., «Нау­

ка»,

1968.

Шапиро

Д. И. Об одной задаче дифференциальных игр с асимметричными

стратегиями.— Тезисы

докл. I I Всес. конф. по теории игр. Вильнюс,

1971.

предшествовать

латентный период

накопления

возбуждений

определенного

фиксированного числа синапсов.

Это

число не

'зависит от предыдущей активности и от расположения

синапсов

па нейроне.

3. Единственным запаздыванием в нервной системе, имеющим

значение, является синаптическая

задержка.

4. Активность какого-либо тормозящего синапса

абсолютно

5. С течением времени структура сети не изменяется.

Симво­

лизмом для изложения теории явился язык I I (Сагпар, 1938)

с уче­

том обозначений (Russell, Whithead,

1925).

Функтор.. -Л1-- задан соотношением

S (Р) (t)t = Р {Kx)t

= х',

жение (Рг).

Здесь Р — некоторое

свойство. Кроме того,

запишем

S%Pr

вместо S

{S

(Рг))

и т. д.

Желающим основательно изучить математическую логику мо­

гут

быть рекомендованы

фундаментальные

работы г .

Обозначим нейроны данной сети N через сѵ

... сп,

а свойство

чисел «нейрон ct

возбуждается в некоторый момент» (равный числу

синаптических

задержек

от

начала

отсчета времени)

— через N

с индексом

і,

так что Ni

(t) означает утверждение: «ct

возбужен

в момент t». Назовем Nt

действием нейрона ct.

Будем

рассматри­

вать индексы при N как принадлежащие предметному

языку.

Определим рецепторы сети N

как

такие

нейроны из

N,

кото­

рые не имеют на себе аксонов. Пусть действия этих нейронов

суть

N± ... Np,

действия же

остальных

нейронов

Np+1, Np+2,

...

Nn.

Тогда решением

сети

N

будет

класс высказываний

вида

St:

Np+i (z i). =

.Pi'i

fflv

••• Nv,

zi)>

г

Д е

РГІ

и е

содержит

свобод­

ных переменных, кроме zx, и описательных

символов,

кроме N в

вания [sa], причем каждое St

верно

для N.

Обратно, пусть дано

некоторое высказывание Рг1(1р11,

р2г,

... 1рР1,

z v s), не содержащее

сеть N

и в ней такая последовательность Ni,

что JVX

== Рг1 X

X {Nx

...Ni, zx, sax), где [saj имеет вид N

(О). Такое

высказы­

для некоторого п высказывание Sn

(Ргх) (рѵ

... рр, z1s)

реали­

зуемо в вышеуказанном смысле.

Нейрон ср+і

является

тогда

сетей и

в нахождении

сети,

имеющей предписанное

поведение,

если таковая существует.

Сеть

называется циклической, если она содержит

некоторую

петлю,

т. е. если в ней существует цепочка ct, с , + 1 ... нейронов,

каждый

член которой

имеет

аксоны на следующем

по порядку

ронов

сх , ...

Ср такова, что

ее удаление превращает N в сеть без

1 Г и л ь б е р т

Д., А к к ѳ р м а н

В. Осповытеоретической

логики. М., ИЛ.,

1947.

К л и н и

С. К. Введение

в математику. М., ИЛ.,

1957.

путем

следующей

рекурсии.

1.

[zj] —сеть в.п.в.,

где р 1

— предикатное

переменное.

2.

Если 5 г и S» — в.п.в., содержащие

одни и те же свободные

индивидуальные

переменные, то в.п.в. будут

также выражения

SSV

SiVS*,

S^Sz

и iSjоэ iS2"

,3 . Ничто другое не является в.п.в.

Т е о р е м а 1.

Каждая сеть порядка 0 может

быть решена в

терминах временных пропозициональных выражений.

Пусть d — любой нейрон сети N с порогом Qt >

0; пусть сс 1 , ...

Cjq

имеют на нем соответственно пп ...

пір

возбуждающих си­

напсов и пусть сц

... Cjq имеют на нем тормозящие синапсы. Пусть

щ —• система подмножеств

из {пц ... пір}

таких,

что сумма их

допущениями

можно написать

Q

Nt

(Zl).= S { П со Njm

(Zl). S П Пи Ы ,

(1-4-1)

m=l

aex j з^а.

где 2 ж П — синтаксические

символы для конечных

дизъюнкций

и конъюнкций. Так как выражение такого вида

можно написать

для каждого с\, не являющегося

рецептором, то, подставляя в

(1-4-1) соответствующие выражения для всех Njm

и Л ^ ,

нейро­

ны которых не есть рецепторы, и повторяя этот процесс,

можно

прийти к выражению для Ni

полностью в терминах

рецепторов

N, ибо сеть N не содержит

петель. Кроме

того,

это

выражение

будет в.п.в.,

так как (1-4-1)

есть, очевидно,

в.п.в. и

так как из

вместо конституэнты

р (z)

в в.п.в.

является

в.п.в.

Т е о р е м а

2. Каждое

в.п.в. реализуемо

сетью

порядка 0.

Функтор S,

очевидно, перестановочен с дизъюнкцией, конъюнк­

цией и отрицанием. Очевидно также, что результат

подстановки

всякого £ і , реализуемого

в

узком

смысле (в у . с ) ,

вместо р (z)

в реализуемое выражение

iS^ является выражением,

реализуемым

в у.с. Реализующая сеть

строится путем замены

рецепторов сети

для Si реализующими

нейронами

сетей для Su

сеть из одного

нейрона реализует

px{z^) в у . с ; рис. 3,а изображает сеть, реализу­

ющую

Spx (zj) и,

следовательно,

SS2

в у . с , если S2 может быть

реализовано в у.с. Далее,

если

S% и

S3 реализуемы,

то SmS2 й

iS"^

реализуемы

в у.с.

при подходящих m ж п.

Этим же