Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

проявляется в нелинейных задачах. Суть дела состоит в следующем. Если разложить решение разностной задачи и коэффициент и (xk, tj) в ряд Фурье, то произведения рядов Фурье приведут к гармоникам как более длинным, чем взаимодействующие, так и более коротким.

В результате такого процесса в ряде случаев может произойти перекачка «энергии» от ошибок округления из длинных волн в наи­ более короткие, и процесс вычислений окажется неустойчивым, несмотря на то, что данная разностная схема с постоянным коэффи­ циентом будет счетно устойчивой. Обычно такую неустойчивость называют нелинейной неустойчивостью. Она также иногда появляется и при решении линейных задач с переменными коэффи­ циентами. Поэтому построение разностных схем для нелинейных уравнений или уравнений с переменными коэффициентами, устой­ чивых в отношении к любым возмущениям, является чрезвычайно актуальной задачей. В большинстве случаев подавление счетной неустойчивости возможно с помощью диссипативных разностных схем, отвечающих определенному выбору коэффициента счетной вязкости [X. Однако такие схемы, как правило, оказываются схемами первого порядка аппроксимации либо по т, либо по Дх, либо и по т и по Лаг.

Особый интерес в приложениях имеют уравнения вида

где и = и (х, t).

Разностные схемы для уравнений такого типа, абсолютно устой­ чивые и имеющие первый или даже второй порядок аппроксимации на некоторых классах коэффициентов, мы изучим в дальнейшем при рассмотрении многомерных уравнений вида (6.26).

Рассмотрим на плоскости (х, у) задачу о движении ансамбля частиц по заданным траекториям. В рамках метода механики сплош­

u = u(x, y, t), v = v(x, y, t).

Далее предположим, что компоненты вектора скорости и, ѵ в каж­ дый момент времени удовлетворяют уравнению неразрывности

является периодическим, принимая на противоположных границах прямоугольника одинаковые значения.

48

Эволюционные уравнения из (6.27) запишем в операторной форме

Нетрудно показать, что в исследуемой задаче оператор А удо­ влетворяет условию (Лф, <р) = 0. В самом деле, вводя скалярное произведение в гильбертовом пространстве, запишем

оо

Подынтегральное выражение с учетом (6.28) преобразуем к виду

ф2 ф2

Отсюда с помощью условия периодичности решения на границах получаем

Таким образом, оператор Л является кососимметрическим и, сле­ довательно, допускает конструирование абсолютно устойчивых разностных схем.

Теперь попытаемся оператор Л расщепить таким образом, чтобы каждый из элементарных операторов А а (а = 1,2) также удовле­ творял условию

В этом случае разностная схема покомпонентного расщепления позволит получить абсолютно устойчивую разностную схему второго порядка точности.

Формальное разложение оператора Л на составные части

(6.34)

не удовлетворяет условию (6.33). Нетрудно убедиться, что имеют место соотношения

а Ь

{АхФ, ф) = ~ j \dxjV

ОО

аЪ

(А2ф, ф) = - J j dx J ф2^ d y .

оо

Это значит, что операторы и А г не могут быть взяты в качестве элементарных для построения схемы последовательного расще­ пления.

Выберем теперь операторы А х и А 2 в более сложной форме

ди

Нетрудно видеть, что каждый из таких операторов теперь удовле­ творяет требованию (6.33), а сумма этих операторов в точности равна А. В самом деле, составим сумму

удовлетворяют уравнению (6.28).

Итак, все необходимые условия для применимости метода рас­

на операторы (6.34) может скомпрометировать саму идею расщепле­

50

ния, и лишь дополнительные соображения приводят к схемам, теоре­ тически оправданным и эффективным в приложениях.

После такого предварительного введения перейдем к построению разностных схем решения задачи (6.27) по пространственным пере­ менным и времени. С этой целью сначала обсудим вопрос о раци­ ональных путях аппроксимации оператора А по пространственным переменным х и у. Как было отмечено, удобным методом аппрокси­ мации задач математической физики с сохранением аддитивных свойств оператора и его качественных особенностей является метод покоординатной аппроксимации, которым мы и воспользуемся для построения разностных схем.

Предположим, что коэффициенты и и ѵдостаточно гладкие, и рас­ смотрим уравнения (6.27) в дивергентной форме

со вторым порядком относительно Ах и Ду на достаточно гладких функциях и, и и ф. Однако выражение (6.40) имеет существенный

Это значит, что привычная нам аппроксимация оказывается неудо­ влетворительной для конструкции вычислительного алгоритма ре­ шения задачи (6.27).

Покажем, что аппроксимация выражения (6.39) в форме