Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
i+ |
ß |
/4- |
ß-i |
І + |
/ + |
|
|
2т„ |
= 0 |
||||
ф« |
|
-Ф« |
“ЬАа |
Ф |
+ Ф |
|
|
|
т /2 |
|
|
2 |
|
|
|
(ß— ша -|-1, |
та -f- 2, . . |
2т(^). |
(5.І2 ) |
|
Начальные условия для решения каждой из систем (5.12') берутся соответственно в виде
ф{ = |
ф'. |
|
Фа ~ Фа-1 (а = |
2, . . и). |
(5.13) |
Нетрудно проверить, что задача (5.12') аппроксимирует на интервале tj ^ t sg tj +1 любую из задач (5.11) с точностью до т.
Для того чтобы весь алгоритм приводил к решению задачи (5.1) с точностью до т2, необходимо, кроме того, чередовать и основные
циклы. Так, вместо (5.11) следует иметь на интервале |
^ t ^ |
|||
І ^ + Л*Ф« = 0 ( а = 1, 2, . . |
п), |
|
||
Фі-1 = Ф/- 1. ФІГ1 = Фа-і |
( « > ! ) • |
ф' = Фп |
(514) |
|
и на следующем интервале tj ^ t |
sg tj +х: |
|
|
|
^ + Л„_а+1фа = 0 |
(а = 1, 2, . . . , и), |
|
||
ф{ = ф'\ ФІ = |
Фа-і |
(а > !)> |
|
|
ф/+і = фЯ-і. |
|
(5.15) |
||
При этом предполагается, что каждая из задач из (5.14) и (5.15) решается с помощью двуциклического метода вида (5.12). Заметим, что при условии Аа$ 5 =0 метод покомпонентного расщепления является абсолютно устойчивым.
В заключение приведем общую схему расщепления для неодно родного уравнения
а=1 |
|
|
ф = g |
при t = 0 |
(5.16) |
на интервале tj _ 1 sg t ^ tj +1 |
на основе двуциклического метода. |
|
Рассмотрим схемы слабой аппроксимации в дифференциальной форме.
На интервале tj _1 ^ t |
^ tj |
примем |
|
|
* $ Г + А аФа = |
0 |
(а = 1, |
2, . . ., п |
1), |
■ ^• + |
^пфл = / + |
у A J , |
(5.17) |
|
39
а на интервале tj |
|
sg: t |
ti +1 — |
|
|
|
|
|
||
и |
|
- |
^ |
+ ^ * , 1 |
= / - ^ |
» |
/ |
|
(5.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ± |
^ |
+ Ап. а+1ір„+а = 0 |
(а = 2, 3____ п). |
|
||||||
При условии, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фі(^/-і) = |
Ф/"1. фа+1 (^-і) = |
фа (^) |
(а = 1, |
2, . . п) |
(5.19) |
|||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фа+і(tj) = фа(f/+i) |
(а = ге-{-1, п~{-2, |
, . |
2п — 1). |
(5.20) |
||||||
Если теперь для решения уравнений (5.17) и (5.18) на интервале |
||||||||||
|
воспользуемся |
схемами |
Кранка — Николсона, |
|||||||
положив f = Р, приходим к системе (4.16). |
|
|
|
|
||||||
Наряду с системой уравнений (5.17)—(5.18), рассмотрим сле |
||||||||||
дующую. |
|
|
^ t |
^ |
ts |
|
|
|
|
|
На интервале |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
9<Рх |
+ A ф і- 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
+ Л„ф„ ===0, |
|
|
|
(5.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на интервале |
|
^ t |
sg £; + 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^фп+х |
. j |
|
|
|
(5.22) |
|
|
|
|
|
|
dt |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и на интервале ti, |
t |
sg £/ + 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d<Pn+2 |
-f- ^4пфл+2 — О» |
|
|
|
|||
дфгя+і +ЛхФ2Л+і - 0. dt
Начальными условиями для системы (5.21) будут
. Фх(*/-і) = Ф'-1. Фа(*/-х) = фа-х(*/) (а = 2, 3, . . . . п).
Для уравнения (5.22)
(5.23)
(5.24)
фл+і |
= |
фл (*/) |
(5.25) |
и для системы уравнений (5.23) |
|
|
|
фа (£ /)= фа-х (tj+i) (а = |
п + |
2, л + З, . . ., 2 л -j- 1). |
(5.26) |
40
2.6. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Уравнение движения является важным составным элементом гидродинамического процесса, переноса частиц вдоль траектории и т. д. Именно важностью приложений объясняется большое вни мание исследователей к решению этих уравнений.
Развитие численных методов решения уравнений движения сти мулировалось потребностями в гидродинамических и газодинами ческих расчетах. За последние два-три десятилетия численные методы решения гидродинамических задач обогатились рядом интересных идей, предложенных многими авторами.
В последние годы интенсивное изучение проблемы прогноза погоды и динамики океана дало новый импульс для разработки эффективных методов численного решения уравнений движений, который благодаря работам Курихары, Брайна, Г. И. Марчука и др. привел к созданию весьма универсальных и эффективных алгоритмов решения таких задач. Некоторые из таких подходов и будут рас смотрены в настоящем параграфе.
К числу простейших задач математической физики следует от нести уравнение переноса субстанции вдоль траекторий частиц, которое можно представить в виде
где
А |
|
|
_ö_ |
_ö_ |
dt |
|
|
ду |
+ W dz |
— полная производная от функции ф (х , |
у, z, t) по времени, а и, |
|||
V и w — компоненты вектора |
скорости u = u i -f- yj -j- wk, причем |
|||
и = |
dx |
V — dy |
W |
iz |
|
dt |
dt |
|
dt |
Рассмотренное уравнение решается при дополнительных условиях, простейшим из которых для неограниченной среды будет
ф(*. У, 2, 0) = / (я, у, z).
Аналогичная задача возникает в качестве элемента общего алго ритма при численном решении уравнений гидродинамики, теории переноса излучения и многих других. Учитывая это обстоятельство, проведем подробное обсуждение возможных путей численного реше ния задач такого вида. Сначала рассмотрим простейшие уравнения движения.
При решении задач гидродинамики, гидротермодинамики, про гноза погоды, динамики океана и др. приходится иметь дело с урав нениями переноса субстанции вдоль траекторий. Простейшим урав нением такого вида является уравнение
â<p |
дц> г, |
|
dt |
и 1 Г = 0’ |
|
Ф = /(я) при t —0, |
(6.1) |
|
41
где и — заданная |
скорость, а / (х) — начальное распределение <р. |
Мы предполагаем, |
что функции ф (х, і) и / (х) являются периоди |
ческими функциями по а; с периодом 2я. Если и = |
const, то задача |
(6.1) имеет очевидное решение |
|
ф(х, t)= f(x — ut) |
(6.2) |
при условии, что / (х) есть дифференцируемая функция. Это решение (6.2) описывает процесс распространения начального возмущения вдоль характеристики
X — u t = const.
Это значит, что ф (х, t) — const на любой прямой х — ut — const. Итак, задача (6.1) при и > 0 определяет процесс распространения возмущения в сторону возрастающих значений х. Эти хорошо изве стные положения следует иметь в виду при конструировании разно стных аналогов задачи (6.1). Если скорость и = и (х, t) — перемен ная, то нахождение решения задачи (6.1) в аналитическом виде уже, вообще говоря, невозможно. Именно в этих случаях оказывается необходимым применение численных методов, основанных на разно
стных аппроксимациях.
Рассмотрим простейшие разностные схемы с и = const. Ради определенности будем полагать и > 0. Тогда имеем явную схему
фІ +1- фІ |
|
, |
ц ф І - фІ - і |
0 |
(6.3) |
|
|
т |
|
1 |
Ах |
|
|
и неявную |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Фй+1-Фй |
, |
„ |
ФІ+1-Ф І-гі |
п |
(6.4) |
|
т |
“ |
1 |
U |
А-у |
V, |
|
|
I |
. |
|
|||
Обе эти схемы имеют первый порядок аппроксимации по Ах и т. В самом деле, предположим, что начальное значение / (х) и ф (х , t) — достаточно гладкие функции. Тогда решение уравнения (6.1) раз ложим в ряд Тейлора в окрестности точки х = xk, t = tj
ф (ж, t) = (ф)і + (%)'k (t — tj) + (cpx){ (x —xk) + . . . . |
(6.5) |
Подставляя ряд (6.5) в (6.3), (6.4), получим
дф |
дц> |
и Ах |
т |
д2ф |
(6 |
.6) |
|
dt |
1 U дх |
2 дх2 |
2 |
d t2 |
|||
|
|
Отброшенные члены в (6.6) имеют более высокий порядок ма лости. Из уравнения (6.1) следует, что
д2ф _ |
2 |
(6.7) |
d t2 |
дх2 * |
Тогда выражение (6.6) примет вид.
5ф |
и Ах — ха2 |
02ф |
при X = Xk, t = tj. |
(6 .8) |
дх |
2 |
дх2 |
|
|
42