Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

и аппроксимирует выражение (6.39) со вторым порядком по Дат и Ду. Для того чтобы это показать, воспользуемся следующей аппро­ ксимацией коэффициентов:

Выражения (6.44) подставим в (6.42). Тогда после несложных пре­ образований получим

Предположим теперь, что коэффициенты ukil, vkil удовлетворяют разностному аналогу уравнения неразрывности

Если коэффициенты и, ѵ и решение <р имеют ограниченные произ­ водные второго порядка по х и у, то видно, что выражение (6.45) при условии (6.46) отличается от (6.40) на тот же второй порядок малости, как и выражение (6.40) от (6.39). Таким образом, мы пока­ зали, что выражение (6.42) аппроксимирует (6.39) со вторым поряд­ ком относительно Да; и Ду.

Покажем теперь, что таким образом построенный оператор Ан удовлетворяет условию (6.43) и, более того, каждый из операторов Д*

иопределяемых выражениями

также удовлетворяет условиям

52

Г л а в а 3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

Проблемы динамики океана начинают привлекать внимание многих ученых. Большой прогресс в изучении физики океана стиму­ лировал интерес математиков к построению численных моделей -океанических циркуляций, моделей приливных течений в окраинных морях и др. Такие модели оказали существенное влияние на развитие исследований центрального вопроса современной геофизики: про­ блемы взаимодействия атмосферы и океана.

В этой главе излагаются основные вопросы, связанные с поста­ новкой задач динамики океана и их алгоритмического решения.

Следует далее отметить, что читатель, интересующийся только методами численного решения сложных задач, при первом чтении может опустить § 3.1, где обсуждаются возможные постановки задач динамики океана и формулируются требования к единственности решения. Однако при более глубоком знакомстве с алгоритмами необходимо и более детальное изучение постановок, поскольку ■формулировка методов численного решения сложных задач, как правило, тесно связана с пониманием описываемых физических процессов.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

Постановка задач динамики океана изучалась во многих исследо­ ваниях и к настоящему времени здесь достигнуты существенные результаты (Г. Стоммел, А. Робинсон, П. Веландер, В. Б. Штокман, А. С. Саркисян, А. И. Фельзенбаум, К. Брайен, В. М. Каменкович и др.). В последние годы в связи с интенсивным изучением физики океана и проблем взаимодействия атмосферы с океаном интерес к изучению океана резко возрос. Особое внимание при этом про­ является к решению полных систем уравнений с учетом бароклинных эффектов, связанных с изменением плотности жидкости. В дальней-

54

шем мы сформулируем серию возможных корректных постановок задач о циркуляции в океане и дадим метод их решения:

du

dt

lv + -

dS

(1.1>

где u, V, w — компоненты вектора скорости u , p — давление, p — плотность, T — температура, S — соленость. Координата х напра­ влена на восток, у — на север и z — вертикально вниз.

К системе уравнений (1.1) присоединим уравнение состояния

где / — известная функция температуры и содержания солей. Сформулированную систему уравнений (1.1), (1.2) можно не­

сколько упростить, переходя от физических величин к их отклоне­ ниям. Так, если ф (х , у, z, t) — некоторая физическая характери­ стика, то положим

ф= ф+ ф'.

Пусть

p = p ( z ) + p ',

T--=T(z) г Т',

где р (z), Т (z) тл S (z) — некоторые средние для рассматриваемой акватории океана распределения давления, температуры и соле­ ности по глубине. Будем считать, что

p > p \

T > r ,

Кроме того, предположим, что Т и S удовлетворяют уравнению состояния и статики

P = f ( f , S),

Используя соотношения (1.3), (1.6) и оценку (1.7), систему основ­

можно использовать для всего Мирового океана х.1

1 Преобразование (1.10) переводит исходную систему уравнений в тожде­ ственную и, следовательно, оно является математически формальным. Поэтому такое преобразование можно использовать даже в тех случаях, когда в изу­ чаемой акватории океана или части ее' термоклин отсутствует совсем или он сильно отличается от принятого «среднего». Вместе с тем данное преобразование, не внося дополнительных погрешностей в исходную систему уравнений, позво­ ляет теоретический анализ задачи провести наиболее просто.

56

Здесь, конечно, предполагается, что выполняется условие (1.5). Предположим далее, что

Для доказательства теоремы единственности решения неста­ ционарных задач динамики океана и постановки корректных условий на границах, обеспечивающих корректность в постановке задачи, мы будем исходить из системы уравнений (1.8). С этой целью за­ фиксируем малый временной интервал t-s sg t ^ tj+l и произведем линеаризацию уравнений (1.8) на этом интервале. Тогда система уравнений (1.8) примет вид

du . дѵ , dw

дх ду dz ’

где ці, vl и w‘ — компоненты вектора скорости, которые предпола­ гаются известными функциями при t = tj и удовлетворяют уравне­ нию неразрывности

Первые пять уравнений системы (1.12) соответственно умножим

на ри, ру, 8— Т’, S', р '. Результат сложим и проинтегрируем

У т Ys

по объему Мирового океана. Тогда с учетом двух последних соотно­ шений в (1.12) и (1.13) будем иметь

57