Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

где р — произвольное целое число. Подставляя (6.12) в (6.11), при­ ходим к выражению для собственного числа

где Гр = 1 — тЯр — множитель перехода для коэффициентов Фурье. Найдем условие, при котором все компоненты ф|, не возрастают

44

и= 1. Это значит, что имеет место неравенство

Отсюда следует справедливость высказанного выше утверждения. Таким образом, мы приходим к условию счетной устойчивости разно­ стной схемы. Легко видеть, что в рассматриваемом случае устано­ вленный критерий устойчивости совпадает с условием корректности уравнения (6.8).

Переходим теперь к обсуждению неявной разностной схемы (6.4). Методом, изложенным выше, нетрудно показать, что схема (6.4) также имеет первый порядок аппроксимации по Ах и т. С помощью разложения в ряд Тейлора при х = xk и t = tj получаем уравнение, аналогичное (6.8)

(6.18)

где

и Дх + и2т

Уже здесь можно констатировать принципиальное различие соотношений (6.8) и (6.18). В последнем уравнении коэффициент счетной вязкости всегда положителен. Следовательно, уравнение (6.18) при соответствующих достаточно гладких начальных данных всегда корректно. Нетрудно показать, что разностное уравнение (6.4) устойчиво при любом соотношении шагов, т. е. абсолютно устойчиво, поскольку множитель перехода для каждого коэффи­ циента Фурье равен

Отсюда следует, что

Из интересных и весьма употребительных разностных схем, кроме (6.3) и (6.4), можно привести следующие:

Нетрудно установить, что схема (6.19) является схемой первого порядка аппроксимации по т и второго по Ах. Соответствующее этой схеме дифференциальное уравнение будет иметь вид (6.18), где

Что касается устойчивости, то она определяется операторами перехода для коэффициентов Фурье. Получаем спектральную задачу

Решение уравнения (6.21) будем искать в виде (6.12). В результате для Хр будем иметь

откуда непосредственно следует, что для коэффициентов Фурье имеем уравнения

Фр+1-Ф{,

+ К ч’р'1= 0

где

т= — -—

р1 + тХр‘

С учетом (6.22)

Т —______ і______

Рих

и, следовательно,

________1__________ 1.

/ 1+ ( 1 7 ) 2sin2/,A*

Отсюда следует абсолютная счетная устойчивость схемы (6.19). Наиболее интересной в приложениях является схема Кранка —

Николсона (6.20). Нетрудно убедиться, что эта схема второго по­ рядка аппроксимации по т и Ах и не диссипативна. Это значит, что

4В

в дифференциальном уравнении (6.18) имеем р = 0, а отброшенные члены имеют порядок т Дж, т2 и Дж2. Что касается счетной устой­ чивости , то в данном случае мы имеем

и, следовательно,

Тр 1= 1-

Таким образом, эта схема является абсолютно устойчивой. Необ­ ходимо отметить, что если в схеме (6.3) разностное выражение для

и ^ в форме

„ ф£ - фL i

ид5

заменить на

Дж ’

то полученная разностная схема при и > 0 окажется неустойчивой при любом соотношении шагов. Доказательство очевидно.

В заключение рассмотрим еще один интересный метод численного решения задачи (6.1) на основе так называемой схемы «бегущего счета». Предложенная Л. Д. Ландау, Н. Н. Нейманом и И. М. Халатшшовым эта схема имеет вид

Нетрудно показать, что эта схема второго порядка аппроксимации по г и первого по х. Она реализуется рекуррентным соотношением

На основе анализа устойчивости по Нейману с помощью метода Фурье нетрудно доказать, что схема (6.24) абсолютно устойчива.

Аналогичным образом можно построить абсолютно устойчивую схему «бегущего счета» для многомерной задачи движения и доказать абсолютную ее устойчивость в случае уравнения с постоянными коэффициентами.

Обратим внимание теперь на тот факт, что всюду выше пред­ полагалось, что и постоянна и положительна. Если и отрицательна, то заменой х на —х приходим к уравнению, которое рассмотрено выше. Однако особый интерес для приложений имеет случай, когда и = и (ж, і). Уже самый простой анализ показывает, что в этом слу­ чае даже при использовании неявных диссипативных разностных схем возможно нарушение счетной устойчивости. Особенно это

47