Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

тде uh жип — нормальные составляющие векторов скорости и* и и соответственно. В результате выражение (1.14) преобразуется к виду

ВS

Переходим теперь к анализу возможных постановок задач и дока­ зательству теоремы единственности решения линеаризованной на

На твердой поверхности условия (1.18)—(1.19) являются усло­ виями безотрывного обтекания, а на свободной поверхности океана «ни эквивалентны условию равенства нулю вертикальной составля­ ющей вектора скорости. Следует подчеркнуть, что на Т' и S' никаких условий на границе не накладывается.

В качестве начальных данных примем при t — tj условие

Предположим, что условие (1.20) и область D допускают доста­ точно гладкие решения задачи (1.12), (1.18), (1.20). Предположим далее, что при одних и тех же граничных условиях и начальных данных существует по крайней мере два отличных друг от друга решения. Пусть это будет

{и = иг— u2, ѵ = ѵ1-—ѵ2, р‘ — Р'\ —Pzi Т' = ТI — Т2, S = 5 і >?г}

■будет удовлетворять системе уравнений (1.12), однородным гранич­ ным условиям (1.18), (1.19) и нулевым начальным данным

В силу указанных предположений с учетом (1.17) мы будем иметь

Ъ

58

Если соотношение (1.22) проинтегрировать по t в пределах интервала

*і sS t «£ tj+1, то

Поскольку под знаком интеграла в (1.23) стоит квадратичная функция, то равенство нулю функционала (1.23) равносильно равен­ ству нулю всех компонентов

Вследствие уравнения неразрывности и при условии

немедленно следует, что

Что касается давления р ', то оно не входит в данной постановке ни в уравнения, ни в граничные условия, кроме как через производ­ ные. Поэтому давление будет определяться с точностью до произ­ вольной постоянной. Это значит, что для полной определенности задачи требуется задать давление в одной точке области определения решения. И тогда однородная задача приведет нас к нулевому реше­ нию для всех компонентов, включая р ' , т. е. получим

Аэто значит, что решение задачи единственно.

2.Рассмотрим теперь другую постановку (1.12), когда требуетс решить систему уравнений с граничными условиями

Т = п s' = h

где а — боковая цилиндрическая поверхность, мысленно выделенная из области D. Функции /у предполагаются заданными во все моменты

решений, удовлетворяющих граничным условиям (1.28) и начальным Данным (1.21). Тогда, составляя разность решений и осуществляя

59

преобразование к функционалу вида (1.15), будем иметь соотно­ шения (1.14) с условиями

Если к условиям (1.30) добавить еще предположения, что коэффи­ циенты системы уравнений (1.12) удовлетворяют условиям

то отсюда следует, что поверхностный интеграл в правой части (1.17) обращается в нуль, и мы приходим снова к соотношению (1.23), из которого следует единственность. Таким образом, условия (1.20), (1.28) обеспечивают системе уравнений (1.12), (1.16) единотвенное решение при задании данных на «жидкой» поверхности.

Необходимо, однако, отметить, что из теории дифференциальных уравнений следует возможность задания /х и /2 в (1.28) произволь­ ными только на той части контура а, где поток частиц направлен внутрь области D. В остальной части а эти функции определяются

Таким образом, имеем следующие граничные условия:

s f = h

Здесь 2 — твердая часть поверхности S , о — «жидкий контур», выделенный из области Мирового океана, а по — часть плоскости

«0

Первый интеграл в правой части (1.36) обращается в нуль вследствие условия на твердой части контура

dp dt ’

то последний интеграл приводится к виду

Поскольку под знаком интеграла стоят квадратичные функции, задача при однородных начальных данных будет иметь только три­ виальное решение. Таким образом, единственность такой поста­

новки задачи также доказана.

Следует отметить, что впервые теорема единственности для си­ стемы уравнений динамики океана, линеаризованной относительно состояния покоя, была доказана Л. В. Овсянниковым. 1

1 См. О всянников Л . В . «Теорема единственности для линеаризованной си­ стемы уравнений динамики океана».

61