Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

В заключение отметим одно важное обстоятельство, связанное с решением указанных задач. А именно, если не производить лине­ аризацию исходной системы и в качестве граничных условий выбрать

При этом константа определяется начальными данными задачи. Аналогичным образом могут быть доказаны теоремы единствен­

ности и в случае, когда в уравнениях динамики присутствуют силы турбулентной вязкости.

3.2. ОПЕРАТО РНА Я ЗАПИСЬ ЗА Д А Ч

И ОСНОВНОЙ А ЛГОРИТМ РА СЩ ЕП Л ЕН И Я

Рассмотрим одну из постановок задач на базе системы уравне­ ний (1.12). В качестве граничных условий примем равенство нулю нормального компонента вектора скорости на всей поверхности, охватывающей область определения решения D. В начальный момент времени считаются заданными величины и, ѵ, Т и S.

Итак, в окончательной формулировке имеем следующую задачу:

Здесь штрихи при функциях р, S и Т ради простоты опущены и ис­ ключено из рассмотрения р. Предположим, что в этой системе вектор скорости и1 задан. В конце настоящего параграфа при обсуждении вопроса об организации вычислительного процесса этот вопрос обсужден весьма детально.

К системе (2.1) присоединим граничные условиям

w = 0 при z = 0,

ия = 0 на о,

62

где а — береговая цилиндрическая поверхность, которую будем «читать состоящей из кусков координатных плоскостей.

В качестве начальных данных примем

Будем предполагать, что входные данные задачи обладают доста­ точной гладкостью, обеспечивающей единственность решения задачи.

Для записи системы уравнений (2.1) в форме (2.4) мы предвари­ тельно изменили вид уравнений (2.1), умножив их соответственно

gaT gas

на р, р, 1, 1 —- и —- .

Ут Уs

63

Умножим теперь (2.4) скалярно на <р. Тогда получим

Нетрудно проверить, что с учетом условий (2.2) имеет место следующее соотношение:

—функция, ранее определенная формулой (1.15). Введем далее в рассмотрение матрицы

64

Матрица А связана с А х и А 2 соотношением

А = Аг-|- А 2.

Нетрудно проверить, что при удовлетворении компонентами ре­ шения условий (2.2) имеют место следующие соотношения:

Условия (2.10) являются необходимыми для построения устой­ чивых разностных схем расщепления, обладающих вторым поряд­ ком точности по т. Такие схемы построим на основе двухциклического

ции двухциклического метода расщепления рассмотрим более ши­ рокий интервал tJ-_1 ^ t ^ tj+1, состоящий из двух интервалов.

Далее важно подчеркнуть, что в уравнениях (2.1) вектор-функ­ ция u ' берется одной и той же для всего интервала tt _ x t ^ t]+1. Только в этом случае двухциклический метод приводит к решению

Заметим, кстати, что второе уравнение из системы (2.11) и первое Уравнение из системы (2.12) совпадают, поэтому их можно решать в едином цикле сразу на интервале iy .j ^ і ^ tj+1. Тогда схема расщепления (2.12) может быть представлена всего из трех урав­ нений:

66