Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
наконец, на последнем шаге расщепления |
^ t ^ tj+1) в виде |
+div и!щ = О,
^f - + di\ulv3 = 0,
-jf - + div u' Г3 = О,
^ - + divu/58 = 0 |
(2.21) |
при условии |
|
divu' = 0, |
|
и>п = О на а |
(2.22) |
и начальных данных |
|
u'a = u!+i, vL = vt+i, Т{ = Т{™, St = S{+\ |
(2.23) |
Заметим, что сами функции сра не имеют определенного физиче ского смысла, они являются вспомогательными величинами, с по мощью которых находится приближенное решение задачи
- |
Фан1=^Фі+1> |
(2.24) |
имеющее физический смысл |
решения задачи |
(2.1) — (2.3), ф/+1 = |
= ф(*у + і)-
Переходим теперь к анализу аппроксимации задачи (2.1) — (2.3) с помощью расщепленных систем (2.11), (2.12). Следует отметить, что если бы исходная задача (2.1) — (2.3) являлась эволюционной, то вопрос об аппроксимации по времени этой задачи системой рас щепленных уравнений решался бы тривиально на основе общей теории, изложенной в § 2.3.
Однако наша задача, к сожалению, не является эволюционной, поскольку она не разрешена относительно первых производных по времени от всех компонентов решения. В самом деле, мы не можем
непосредственно определить из |
системы такие производные, как |
||
dp |
dw |
т, |
- |
-qj- и |
—. |
Поэтому для решения вопроса об аппроксимации проведем |
|
некоторые дополнительные исследования, к которым и приступаем.
3.3.ЭВОЛЮЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЗАДАЧИ
Покажем, что исходная задача (2.1) — (2.3) может быть сведена к эволюционной. С этой целью сначала рассмотрим задачу (2.1)' —
(2.3) с более общими граничными условиями. |
А именно, рассмотрим |
|
систему уравнений: |
’ |
|
Jg. + divu/u — l v + j ^ = 0 , |
... |
... |
i f + divu/o + Zn+ 4 - ^ - 0 ,
5* |
62 |
-£; — g (а т Т + a sS),
ди |
. |
дѵ |
, |
dw |
_„ |
|
дх |
' |
ду |
' |
dz |
’ |
|
+ |
div UlT + yTw = 0, |
|
||||
4^-+ div u'S + Vs«’= 0 |
(3.1) |
|||||
при граничных условиях
||- + gpw = 0 при 2 = 0,
IV —0 при z = H,
и начальных данных |
ип = О на а |
(3.2) |
|
|
|
и = и°, ѵ= ѵ°, |
Т — Т°, S — S0 |
при t = О, |
р — р ° |
при Z —0. Z= О, |
(3.3) |
Рассмотрим первое из условий (3.2) более подробно. Можно по казать, что это условие является следствием того, что поверхность океана представляет собой свободную поверхность, уравнение ко торой запишем в виде
z = l(z, у, t).
Продифференцируем далее это уравнение по t. Тогда будем иметь
|
W ■ d t |
д% , |
dt |
|
|
||
|
д х + Ѵ^ ПРИ |
* = 6 (*. У. |
0 , |
||||
d x |
и = |
d u |
w — |
d z |
|
|
|
где u = — , |
d t |
— — компоненты вектора скорости. Оче- |
|||||
d % |
|
|
d t |
уровнем |
свободной |
поверхности Е |
|
видно, давление p |
связано с |
||||||
соотношением
P |
= P a — g p l |
при z = 0, |
|
|
где ра — атмосферное |
давление. |
Поскольку |
решение |
задачи да |
ется с точностью до р = const, |
то положим |
ра = 0. |
Знак минус |
|
перед членом gp£ является следствием того, что координатная |
||||
ось 2 ориентирована вертикально вниз. Из последнего равенства величину \ можно выразить через р. Тогда, считая возмущения Е
малыми (порядка |
метра) и пренебрегая величинами |
и -Ц- -\- v 4^- |
|
по сравнению с |
ді., приходим к |
соотношению |
дУ |
|
^ - + gpw0 = Q |
при 2 = 0. |
|
68
В граничном условии положим z — 0 и перепишем его в виде
[öpo
dt ë9wo = О,
где индексом «нуль» отмечен тот факт, что величины р и w берутся при z — 0.
Из уравнения статики имеем
2 |
|
Р — Po+ g J (атТ+ а 8S) dz. |
(3.4) |
о |
|
Проинтегрируем далее уравнение неразрывности при условии
w = 0 при z = H,
тогда получим
-К£+£)* (3.5)
Z
И, следовательно,
(3.6)
С учетом соотношения (3.6) первое из выражения (3.2) примет вид
( £ + - ! ) * = °- |
(3.7) |
о
Исключим теперь из системы (3.1) функции р и w с помощью соотношений (3.4) и (3.5). В результате приходим к эволюционной задаче
! f + divu'U- Z y + 4 ^ L |
+ ! - i _ |
J (атТ + otgS)dz = 0, |
|
||
± . + div nb + Іи + 4 |
+ |
1 |
I (агГ + as5) dz = О, |
|
|
^ |
+ divu'T+Yr |
f |
( - g + - ^ ) d z = 0, |
|
|
dS_ |
-f- div u'S + ys |
f |
( |
I dr \ |
|
dt |
J |
\ da: |
"t " dy ) dz = 0, |
|
|
|
4M-» J (т +^)Л-° |
<3.3) |
|||
69
при условии |
ип = 0 на а |
(3.9) |
|
и начальных |
|||
данных |
|
||
и = и°, |
ѵ = ѵ°, Т = Т°, S = S°, р = р° n p n f= 0 . |
(3.10) |
Задача (3.8) — (3.10) является эквивалентной задаче (3.1) — (3.3). Поскольку для эволюционной задачи метод расщепления обо сновывается весьма просто, проведем двухциклическое расщепление задачи (3.8) — (3.10) на интервале t}_x ^ t sg tj +1. Тогда на пер вом шаге (tj-i sg t sg tj) будем иметь задачу переноса субстанций:
+ div u>u1= 0,
-^j- + divu/t»1 = 0,
|
^ |
+ divu/T -^O , |
|
|
|
|
- ^ - + divu/5x = 0 |
|
(ЗЛ1> |
||
при условии, |
что |
и{ = 0 |
на а |
|
(3.12) |
и начальных |
данных |
|
|||
|
|
|
|
||
и{-і = иМ, |
= |
= |
= |
(3.13) |
|
Задачу адаптации полей формулируем на интервале~£; _ х ^ |
t ^ + |
||||
|
|
|
(“ Л - |
“«Щ & = 0, |
|
■^г + |
Ів, + |
- |
|
|
|
І<'‘ тТг- v.s S jd z = - .0 , |
||
|
|
W |
н |
Г |
|
О |
|
|
|
дТ2 |
/ |
Su2 |
. |
<?l>2 |
|
||
|
f |
^jdz —0, |
||||||
|
dt ■+ Yr |
J |
\ |
dx |
^ |
dy |
||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
dS2 |
H |
|
|
|
dv2 |
^ dz = 0, |
|
|
f |
0 & -+ |
||||||
|
dt |
-+Ys |
dy |
|||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
дРо |
|
H |
|
|
dv2 N |
||
|
+ £ P |
|
|
|
||||
при условии |
dt |
1 +Sy j) dz = 0 |
||||||
|
|
u„ = 0 |
на а |
|
||||
и начальных данных |
|
|
||||||
|
bS—«. |
|
- |
|
S’i |
i = 5{. ~Р!-'=Р{-У |
||
и/-1 = ы{, |
v{-i = v{. |
|
II M1—. |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3.14)
(3.15)
(3.16)
70