Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

К этой системе уравнений присоединим граничные условия

Теперь запишем систему уравнений адаптации для отклонений

Т Г - ^ + І -fcj(«rr + ass*)* = 0,

кО

г

~0І~+ lu ’ -j- -i- J (атГ' -f- аа5*) dz — О,

в форме (2.14) — (2.23) с учетом условий (2.10) теоретически обо­ снован.

Опираясь на общие результаты § 2.3, можно утверждать, что если каждая из трех задач (2.14) — (2.16), (2.17) — (2.20) и (2.21) — (2.23) будет решена с помощью разностных методов по времени со вторым порядком точности, то метод расщепления приводит к резуль­ тирующей схеме также второго порядка точности. Абсолютная устойчивость схем расщепления следует из условий определенности операторов А а.

Сделанное выше предположение о целесообразности отфильтровывания звуковых волн не является принципиальным. Все последу­ ющие алгоритмы решения задач динамики океана очевидным обра­ зом обобщаются и на этот случай. Однако этот вопрос мы оставим для упражнений читателю.

Приступим теперь к численному решению расщепленных «эле­ ментарных» задач.

72

3 .4 . РА ЗНО СТН Ы Е СХЕМ Д Л Я У РА В Н ЕН И Й Д В И Ж Е Н И Я

Прежде чем переходить к построению разностных аппроксимаций для задач (2.14)—(2.23), введем в рассмотрение сетку. Поскольку граница области/) по предположению состоит из кусков координатных плоскостей, то при пересечении координатных плоскостей х = х к , У = уі и z = zm получаем набор основных узловых точек. Пред­ положим, что индексы к, I и та изменяются в Dh в пределах:

k°(l, т) s^k ^№ (1, т),

1° (к, т) sg I l1 (к, т),

т° (к, I) ^ m ^ m 1 {к, I).

При этом считается, что граничные точки, нумерация которых видна из неравенств для индексов, совпадают с границей dD области D . Совокупность таких точек обозначим dDh.

Введем в рассмотрение основные точки xk, yt, zm и вспомогатель­ ные хк+і/г, уі+і/г, zm+1/„ которые являются серединами основных интервалов, и обозначим

Далее переходим к рассмотрению задач (2.14)—(2.16). (Задача (2.21)—(2.23) может быть рассмотрена аналогично.) Поскольку все уравнения этих систем однотипны, то рассмотрим, например, такое уравнение 1

никаких требований, кроме условий необходимой гладкости, не накладывается, зато, как видно из (4.2), требуется выполнение неко­ торых условий для коэффициентов уравнения — компонентов век­ тора и1.

Уравнение (4.1) аппроксимируем по пространственным перемен­

73

а ф ■-вектор-функция с компонентами {ф*, і,т}> определенными в Dh, \ а — матрицы такие, что компонентами векторов Лаф явля-

каждого интервала, непосредственно примыкающего изнутри к гра­ нице области. Совокупность этих точек обозначим дЦЦ«. Тогда имеем

где суммирование проводится по всем внутренним точкам области Dh.

Если теперь разностные аналоги уравнений (2.14) и (2.21), по­ строенные с помощью изложенного выше алгоритма, умножить соот-

вать с элементами объемов Axk, Ayt, Azm по всем внутренним точкам

74

и вследствие условия (4.6) подготовлена к расщеплению на эле­ ментарные. Поскольку матрицы Ла некоммутативны, для расщепле­ ния применим двухциклический метод покомпонентного расще­ пления.

Тогда имеем первый цикл

Следует отметить, что вычислительную работу можно несколько уменьшить, если последнее уравнение из (4.9).объединить с первым Уравнением из (4.10), записав эти две задачи в виде одной

Последовательное решение уравнений (4.9), (4.10) позволяет нолучить решение задачи (4.3) со вторым порядком точности по от­ ношению к % (см. 2.3). В результате мы приходим к разностной схеме, аппроксимирующей уравнения движения со вторым по­ рядком точности по т, абсолютно устойчивым на интервале £;-_!

к; t sr tj\

(ßcpl, фі) — (Всрі-'І1, ф1~‘/«) = . . . = (5ф/_,/‘, «pl-5''*) = (ßcp,_1, ф'-1).

Если пространственная сетка равномерна, то мы приходим к схеме второго порядка точности и по Ах, Ау и Az.

ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫ М П ЕРЕМ ЕН Н Ы М

Переходим к разностной аппроксимации задачи адаптации физи­ ческих полей, несколько рассогласованных после решения уравнений переноса субстанций вдоль траекторий на первом этапе расщепления.

75