Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

дик+'/г , дик+'І2

,

 

rs

 

1

1 dPh-t /2

dPkl^-1/2

дх

оу

'

Azä+«/2

 

 

{

dt

dt

 

 

1

 

\

dt

 

dpk+3h 1 =

0

и для к = - т

 

АZk+l

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖU-m+4,

ІѴ-тгЧі ‘

Г

1 др-т*Ч2

Г

 

dt

 

P

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

ди

, ,

 

 

 

 

 

др-т+і/ 2

 

 

~т+11г [

1іі-.тллj24 -

1

 

 

<?г

 

!-

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

ди-m+1

 

 

2

 

rs

 

 

 

1

дР-т*Ч2

дх

/2

-ГП+Ч

 

 

 

 

1

^1/

 

Az-m+> /»

 

 

 

 

 

 

Ы0

1

 

^-т+ѴзѴ

 

T'

 

 

 

3

 

dt

 

1

 

Аг-т+Ѵг ’

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.24)

(5.25)

где использованы следующие обозначения:

 

1

 

I

 

rs ——тг = const,

х = —— = const.

Введем теперь в рассмотрение векторы

и~Ч*

Ѵ~Чг

 

Р-Чш

и = u-*h >

У = ѵ-ч*

1!

Р-Ч2 ’

^-т+* 1г

Ѵ-т+Ч,

 

Р-т+1/2

(5.26)

0

0

/ =

Аг-т+>/г

Тогда разностные уравнения (5.23)—(5.25) можно записать в вектор­ но-матричной форме:

 

 

ди

-

j

1

dp

 

„

 

 

dt

lv + —

3l = 0'

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

,, ,to+4-i£.„о,

 

 

ди

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

p

dy

 

 

 

du

,

du

,

.

dp

,

 

 

77 + ~d^ + rsA W

=

где матрица

А имеет

вид

 

 

А =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U . .

’ - “ 0

“ і

 

 

0

. . .

0

 

 

 

 

 

 

а 2

— (а 2 + а 2) а 2 . . .

0

0

 

0

 

0 .

•

а т -1

0

 

0

 

0 .

.

0

 

(5-27)

0

0

0

0

(а т - 1 “Г а т - і )

« т - і

а т

— « т

234

где

 

1

1

 

к Az-fe+v2Аг-й+1 *

k

Az-fc+‘/2^z-fc

Рассмотрим теперь спектральную задачу

Лф = -

Яф.

(5.28)

Поскольку матрица А — якобиева,

то

система (5.28) дает полный

набор собственных векторов ф(<?), соответствующих положительным собственным числам Я .

Вводим в рассмотрение скалярное произведение

-т

(а, Ъ) — ^ afe+i/2bft+i/2Az.ii+1/г»

Ь=-1

тогда нетрудно проверить, что

(Аа, b) = (a, Ab),

откуда следует симметричность матрицы А. Это значит, что в данной метрике, порождаемой скалярным произведением, система соб­ ственных векторов ф<9) будет ортонормированной, т. е.

(ф^), ір(я’)) =

j 1,

q‘ = q

 

\ 0,

q’i^q.

Решение задачи (5.27) будем искать в виде:

ц = У uq\

V—2

гѵФ(,\

Я

 

Я

 

Р = Ъ Р я^ я)-

(5.29)

я

 

 

 

Умножим уравнения (5.27) скалярно на ф(<7), тогда получим систему уравнений для коэффициентов Фурье

duW

 

 

=

0,

 

dt

p

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵ<4>

zu<«>+4

в p W =

0,

 

dt

p

 

 

 

 

duW

dvW

dpW

 

fW

(5.30)

~JT~+

dy rshq

dt

 

где

/w = (/, Ф(9)).

 

 

(5.31)

 

 

 

Если предположить, что задача (5.30) решена для всех значений q, то с помощью формул (5.29) восстанавливаем и, ѵ и р. Что касается величин W/i и Tk, то они восстанавливаются с помощью уравнений статики и притока тепла. Таким образом, задача адаптации движений в океане и в этом случае также решается до конца указанным выше алгоритмом.

235

7 .6 . СОГЛАСОВАННАЯ ПО В ЕРТИ К

МОДЕЛЬ ДИ НА М И КИ АТМ ОСФЕРЫ И ОКЕА НА

Внастоящем параграфе мы получим другой, на наш взгляд, более эффективный подход к численному методу совместного решения

задач атмосферы и океана. На первом этапе решается задача пере­ носа субстанций с учетом горизонтального макротурбулентного обмена:

— du — .

, д — ди

р ^ Г = р Д

к - г - ^ ѵ И Г ’

dv_ Р dt

ди

- ^ Аѵ + ИГѵ Hz'

CpPr ± . = l l l AT- T FÖ(z),

( 6 .1 )

где F — поток солнечной радиации. Здесь и далее мы будем использо­

вать следующие обозначения: р = рр, ѵ =

vp,

рх = сррхр,

ѵг = срѵр.

На следующем этапе расщепления решается задача:

 

Ѳи

-

Іѵ + R T

= О,

 

 

öt

 

 

 

дх

 

 

 

 

ди_

+ lu + RT

=

 

О,

 

 

dt

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

R T 2

ötp

 

 

 

 

 

 

~ g

 

д Г '

 

 

 

 

dp и

,

öpv

, dpw

p.

 

 

dx

'

dy

'

dz

 

’

 

 

CpP -ä r + (Ya-Y)^

 

d

-

dT

(6. 2)

dz

Vl

dz

Здесь и в дальнейшем будем считать, что Т = Т (z). Это су­ щественное отличие от рассмотренной выше постановки задачи.

Рассмотрим теперь метод расщепления уравнений динамики

океана. Для удобства величины, относящиеся к океану, будем отмечать штрихом. Далее, в океане будем пользоваться другой системой координат, а именно: х, у и z’ = —z. Тогда, очевидно, w нужно заменить на — w’, а Г — на —Г:

д —, du' dz V dz

du’ —, A , , d —„ du’

Р Т Г = Р А‘’ + Т Г ' ’ — '

‘ ^ ^

(6.3)

dГt = К М ~ ’

236

и на следующем

этапе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди’

Iv'

1 1

Ѳр’

- 0

 

 

 

 

dt

 

 

Г

-л

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

дѵ'

 

 

 

1

 

II

о

 

 

 

 

dt 4-ZuM

 

р'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m » _

1

др'

 

 

 

 

 

 

 

1

 

а

dz ’

 

 

 

 

 

 

д и ’

. dv'

 

. dw'

__Q

 

 

 

 

dx

*

dy

 

‘

dz

 

’

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

d T '

■Fb (z).

(6.4)

 

 

 

 

 

 

dz

Vl

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве граничных условий для систем (6.1) и (6.3) возьмем

следующие:

— ди

г.

 

— дѵ

А

 

 

 

 

 

 

 

 

гт

 

 

V —т— — 0,

ѵ -^- = 0 при z —H T,

 

 

dz

 

 

dz

 

 

r

 

 

 

 

 

 

u —u ,

 

v = v ,

 

 

 

— ди

—,

ди'

 

—

дѵ

 

—,

дѵ'

 

Л

V -я—

 

 

 

ѵ ~дГ = ~ ѵ

 

при z = 0’

dz

 

 

 

 

 

u' = 0,

V*= 0 при z — —hT.

(6.5)

Для систем уравнений динамического согласования (6.2) и (6.4)

имеем условия:

— дт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

w —0 при z = Нт,

 

 

V

=

 

 

Т = Т' = Т 0,

w ~ 0 при z = О,

 

 

— ЛТ'

0,

и/ = О при z = —hf,

(6.6)

 

Vj—

=

где Т0 предположим известной из решения задачи на предыдущем шаге.

Для дальнейшего удобно использовать следующие обозначения. Выделим координаты z с системой узловых точек zk и Zk+«/,. Будем считать, что

ак+Ч ah-4,

 

Azk

’

Щ+Чга

ak+\— ak

(6.7)

Azh+'l2

 

 

237

Для остальных двух переменных х и у не будем использовать индексные выражения для разностей, положив

al+'U~al-'l2

Ах[

 

 

Ѵха ■

Axl+'h

(6.8)

 

 

 

Аналогичные выражения введем для у.

 

 

В случае атмосферы получаем следующую разностную схему

для w и ѵ: при к = О

 

 

 

 

duij

i — (vlV+a - J (0ir) +

[vl (vt“1/.) + ѴІ (VyUl/,)].

 

 

dt

 

 

Рі/, Az</

 

 

 

 

 

 

 

 

dvt/2 _

(Vivty — Л 2)) +

 

[y* (y t^ /J + y t

(6-9)

dt

 

P./

 

 

pv, Az‘/2

 

 

при к = 1,2, . . n — 2

 

— Vfe+>/2(VV^) +

— fV*(vt“M-v.) + v t (ѴуНь+'/Л

 

Pft+'/j

 

Pft+Vs

 

 

da,

^ --- Vm-V*(vv ty)

—■—

Iv* (

/, ) +vJ (v5“ft+*/J I;

dt

Pft+v,

 

Pft+V»

 

(6.10)

при к — n — 1

 

 

 

 

 

 

 

^Mn-V2 _

____ 1

^n-xVÄ-l“ -

■[v^(vi“n-vJ + vlt(vX -‘/.)].

dt

Рл-Ѵг Azn-V

 

 

Рл-*/і

 

«Ч-Ѵ,

1

■^n-lVn-lV- --

ІѴ* (Ѵ^л-vJ + VP(Ѵ>«-'/2)]-

dt

Pл-1/s Агл-»/2

 

 

Рп-Чг

(6.11)

 

 

 

 

 

Здесь использованы обозначения

Г(2) .

ѴО

( 6. 12)

Л

'' = -Х77<РЧ* —»'1Ь

г д е

 

Az0

 

Az

 

 

 

» ^ Z0—’Zl/2

z-‘/2

0 ~ z.

~

Г

dz

 

 

•»J

-у

 

 

238

Смотрите также файлы