Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Аналогичные

выражения будем

иметь для

океана:

при к = 1

- ж 1- =

1

 

+ ѵіѵі“') +

-J— іѵг(ѵ&;/Л+ ѵ*(ѵ>'/Лі;

 

 

 

 

Р‘/г äz'xh

 

 

 

р‘/,

 

 

 

-TJ1-

=

 

-(—Д2)+viviw*)+-JJ—[Ѵ;(a&*'/Л+у»(ѵ^'/Лі;

 

dt

p‘/2Äz>/2

 

 

 

р‘/.

 

(6.13)

при

к = 2, . .

/п — 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dUh+'u

 

__1_

 

 

 

 

 

 

 

-----J — vS+1/2 (v'ytii') + -=^— [у* (v^ft+ѵЛ + V?(ѵІ^м-ѵЛЬ

 

dt

 

Pft+V

 

 

Pft+7a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dvk+*i,

 

1

 

 

p'

 

lV* ( v i v k’ + ' U + Ѵу(vK +ѵЛІ

 

 

—----- Vft+v2(v*vt»‘) + - = T —

 

 

 

Pft+V.

 

 

Pft+'/a

 

(6.14)

и, наконец, при

к = т — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dum-4i

 

1

Vm-lVm-X«''

[Ѵ*(ѵІм«-ѵЛ + '

 

dt

 

 

 

 

 

 

Pm-1/>Azm->/a

 

 

Pnt-*/i

 

 

 

 

 

 

 

"Г V

 

 

 

 

 

 

*>«-•/,

_

1

4-іѴт-іУ' + "=7"----(Ѵ* (Ѵ^т-ѵЛ +

 

dt

 

 

 

 

 

 

Pm-1/, ÄZm-Vг

 

 

Рт-*/і

 

 

 

 

 

 

 

+ v /(ѵ^’т-ѵЛІ-

 

(6-15)

Получим далее соответствующие разностные аппроксимации для

задачи диффузии тепла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

äTk _

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

± - lv i( r xTk) + 4(V~yTk)\

 

 

 

 

 

 

cp 9 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( k — l , 2,

. . .,

re — 1),

 

 

 

 

 

T

= -# ■ IVJ (V^o) + v£ (V^o)l -

—

 

 

 

 

 

cpPо

 

 

 

fpP

 

 

 

 

 

ßC

ІѵИА^П) + ѵИѵ^П)]

 

 

 

 

 

CpP*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ä =

— 1, - 2 ,

. . . ,

- m - f l ) ,

 

(6.16)

где Cppo и p L вычисляются по формулам:

 

 

 

-------

срро Az , / 2 +

СрРо А21 і /г

 

-

P i А2 >/г + Р і А г 1 і / ,

 

СрРо

 

д і ^ + Ä ii^

’

 

A^/.+A*:,,,

’

a

— полный поток падающей на поверхность океана солнечной

радиации.

 

 

 

 

 

 

 

 

239

Переходим теперь к формулировке разностных уравнений для адаптации движений в атмосфере (с учетом теплопроводности). Для простоты организации алгоритма совместного решения задач ди­ намики атмосферы и океана будем считать Т[ при z = О известной

и отметим ее чертой сверху (Т0)>. В дальнейшем построим уравнения

для этой величины и при необходимости сможем

различным

путем

замыкать задачу.

 

 

 

 

форме

два

уравнения

Эйлера

Запишем сначала в разностной

и уравнение неразрывности:

 

 

 

 

 

 

,./+1

_иі

.

 

_

_

 

-1

 

h-i-'/s

k-\-ХІ2

7,,/H-l

 

т>т

 

 

-------—-----------а+'/.Ѵ*гPft+'/2i

 

 

 

“ft+V.

Эм-Ѵх

T../+1

_

 

Df

„+„/+1

 

 

 

■Шь

 

: — RTh+'I гЧ+уЧ>11+Ч21

 

V>A+V, + VF4+V, = — i?7,ft+>/,^A+«/!PU,/+1»

(6.17)

где оператор -4*+х/2переводит сеточную функцию (pw)k в следующую;

 

PjlIHj

при к —О

 

PlUAz'U

 

Ah+iUpw =

•yÄ+ѴгРШ при

/с=£0, кфп — і

Ph+'U

 

 

 

1•Рт-і^т-іПри/с = тг— 1.

ЧPm-V 2Äzm-‘ /s

Далее, с помощью уравнения притока тепла и статики найдем разностный аналог для выражения р^щ:

 

 

рМ

ы

 

Рі?1

 

 

Р іГ і

 

 

/ Ч і .

 

 

 

 

т (Ya—Yi)

t(Va —Yi)g

 

ѴіЧ>

 

 

 

 

 

 

_

№

+ ,

 

 

vv

дуа

 

 

 

 

 

 

 

'■ /

 

 

---------------—------------- І - Т 7 Т .

 

+ cp(Yö—Yi) Azi

\ Ѵз/аѴ' /2

-------------Ѵ 7;ГпЛ 1

■■HL..“ * 1

ut(p/+1-^__ lU-T* I

 

VlCp

 

A*./,

£

ѴіФ + А*х/.

"J'

 

 

 

 

 

 

PaH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РМ +1 =

-------------------- E^ Tk___ у+фГ+і.

 

 

 

T(Ya-Yft)

T(Yo—Yft)ff Ѵ*ф

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ДГ2

+ /+і

 

 

 

 

 

 

(Yo- Y a) VavVa+'/z

----- WPm

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

при к — 2,

. .

 

n — 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

,,, _

Pm-lTm-i_______ Pm-\Tm~l

+

 

;+1

1

X

 

_1

тГл, ___v „

^

T t v . — v...

Л о

Vm-lV

 

CP (Ya— Ym-l)

 

T (Ya—Ym-l)

T (Ya~~ Ym-l) g

 

 

 

 

X

V

' / ,

 

ätV

,

+

,L,

-

 

 

 

ДУ2

(6.18)

Äi^ J ^

 

g

Vm-іФ7Ь1 -

Vm-*/,V«-*/, ~

Vm-іф'

240

Наконец,

исключим

из (6.17) величину pkivfc1. Тогда

приходим

к системе:

»Xi

г

 

 

 

 

 

,,/+і

 

 

 

J +1

 

 

ик+Ч* ик+'І2

■^ f t + V s =

 

 

 

 

 

- R T h+чЯхЧк+ЧV

 

 

.J'X

&4*1 / 2 I

7 , . / Ы

iD T7

„ + ГГ>/ 'Ы

 

 

f t+ V г

 

 

----------- ---------------

 

Г LU h + 4 z --------

R * h + Ч г

Ѵі/ФА+‘/г>

 

УхЩ+ЧгЧ VyVh+'l 2

-ДгУ Ѵ‘

ATfcH-v.

— | - /U v

.. (6-!9)

где оператор Mk+*/t зависит только от индекса к и не зависит от индексов по другим независимым переменным. При этом

М ЧгФ:

РіГі - Ѵіф-Ь

 

SiVa — Yl)

+ с (7 ^ ѵ;г ( ѵ» /.Ѵ ѵ .- ^ - Ѵ іФ - - ^ - - ^ - Ѵ іФ

ср\Уа ~ Yl) \

g

Az,y2

g

I

__

М и ч и Ф = ------

Ѵй+Vi

pk+4t

Pkxk

+ сР(уаТ-Ъ ) V ^ v , ~ Ѵ*Ф

е(Уа~Ук)

(fc = l, 2,

m — 2),

 

Мт-Чгф :

Pm-iTtn-l

■Vm-іф +

 

 

Лп-‘/г Aznt->/t

ё(Уа-Ут-і)

 

 

 

 

 

 

+

■vm-v.

+

ЛГ2

+

cp(Ya— Tm-l) \ Azm->/2 £

Ѵп*-іФ Ѵт-3/2Ѵ^-8/2 g

Wi

(6. 20)

Величину /і+Ѵг определим следующим образом:

 

 

1

(CpP^i + TV./^o).

 

 

f ' h = - =

 

 

 

срРі/ 2 ^z*/j (Yo

Yl)

 

 

 

 

 

 

1

 

PkT{

 

 

 

 

 

/it- 1/

• V h f 1/ « -

 

 

 

 

 

Рк+Чг

Ya

 

 

 

 

 

(Ä=l, 2,

. . . , i n - 2),

 

 

 

 

 

_____ 1______ Pm-lTm-i

 

 

(6. 21)

 

 

fm-Ч ’ Pm-4*Azm~4*

Ya“ 7m-1

 

 

 

 

 

 

 

Введем теперь в рассмотрение векторы:

 

 

 

 

ПЧг

*>*/,

 

Ф‘/.

 

 

/■/2

и —

и»и

ѵЧг

, ф=

ФѴ.

.

/«=

/■/.

,

V =

 

 

 

Ищ-1/2

Ѵт-Ч,

 

фm - 4 t

 

 

fm-Ч t

16 Заказ 674

241

и диагональную матрицу М, элементами которой являются опера­ торы Мй+і/а. Тогда система уравнений (6.19) в векторной форме

примет вид:

ц/+1—цІ

------- — “--------Іѵ’^

= - В Ѵ +х< р '+ \

 

т;/+1_ѵ]

 

 

Ѵ ^;>1+ Ѵ^'4"1 = ---7 BMq,+x — -j- p,

(6.22)

где В — диагональная матрица с элементами і?71й+1/г

 

Введем в рассмотрение спектральную задачу

 

и сопряженную

Л/(о =

— Ало

(6.23)

М*со* -

—Лео*

(6.24)

 

с условием биортонормирования

 

 

(

?,<°

0, g'=f q.

 

Будем предполагать,

что

 

 

И = Я 2 и?со9,

 

ф

 

 

 

 

f = B '£ fq^q,

 

(6.25)

где

 

я

 

 

ид = (и,

В^ОУд),

 

 

 

 

 

 

Ѵ„ = {ѵ,

В-1®*),

 

 

 

CPq = ((p, СО*),

 

 

 

/, = (/,

^ Ч * )-

 

(6.26)

Разложение (6.25) подставим в (6.22)

и результат умножим на

В -1Од. Тогда приходим

к системе уравнений для

коэффициентов

Фур ье:

 

 

 

 

J - 1 — и’

 

 

 

u q

u q

 

 

 

 

■lv’q+1 = — ѵЗД+1>

 

ljr1 —l/

 

 

 

-±—

JL + lui+i = -vJ(p/+if

 

i

A ? j l q r l -------Ф д ' 1 = -

“ ■/ а -

(6.27)

242

Смотрите также файлы