Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решения этой системы уравнений при различных q обсуждаются в дальнейшем.

Переходим теперь к разностной аппроксимации задачи адаптации движений в океане. С целью упрощения будем считать, что нуме­

рация уровней ведется от поверхности вниз. Далее, wk

заменим

на —шД и Гк — на —ГД. Тогда уравнения адаптации

океана

оказываются весьма похожими на уравнения адаптации атмосфер­

ных процессов.

Мы будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і+1

—и

 

 

 

 

 

 

 

 

/+1

 

 

 

 

 

 

'fc-ы/,

Т

hi-'/г

 

 

Іѵ'і+1 =

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SfxPh+'h'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vki'U

 

-Іи’і+1 = —4- ѵір№К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

+ ^yV'kl'h = — 4 Д ,hw’/+і,

 

(6.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-ä^ —“’i

ПРИ к = 0’

 

 

 

ALj ,„w = \ Vftf’/X '

az>/2

 

 

 

 

 

 

 

 

при /с= 1,

2,

 

. . ., m —2,

 

 

 

 

 

 

 

 

Äzm-i42

-

при к = т — 1.

 

Выражения

для

u-£+1

имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

w

1+1_

Т '

I

 

 

tn'i ы ■

 

 

 

 

я / \7tn' /-Ы -

1 1

 

 

7r

 

 

 

 

тГ(

 

 

ѴіР

 

 

 

 

Дг(

V3/2V3/sVlP

 

 

 

тГ(сг ’

“

 

 

 

СрГістр'

 

 

 

 

 

 

 

vl,

 

 

 

 

 

V 1

— .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ‘/г

Till

 

 

 

(6.29)

 

 

 

 

— —vtv '+1 -!___— T 3

 

 

 

 

 

 

 

Л\7.' .

V li/f'

 

 

1I

AЛ?'

0

 

 

IVpP'

 

 

 

 

 

 

az1/z

 

 

 

 

 

azv,

 

 

 

 

 

для к = 2,

. . .,

m — 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“* 7

 

T 'V +

 

1 1

 

 

 

+ -

^

7

Vtv’v ^

t p ^

,

 

 

 

 

---- тГ1

ff- Vm-lP' /hl

 

 

 

1

 

X

 

 

 

Ti m-1

 

T1 m -i^

 

 

 

 

срГт _іор Azm_j

 

 

X

 

 

т-Ч*

+

 

'Гм

'm-3/гУт-’/iSJm-lP

 

(6.29)

 

 

 

дТТ

 

Vm-lP

 

 

 

 

 

 

 

 

Агт - ‘ / г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключим

и/;+1

из (6.28),

воспользовавшись

соотношениями

(6.29). Тогда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г

 

/2 I

 

7.

1+1

 

1

 

yypkltf,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гнйДД = —

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V x U h l w , + V y V h + 4 , = — 4-

 

 

1+1 — 4- /ft+V,.

(6-30)

16*

243

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М ч ,р'-

Дг\/2

 

 

 

 

 

 

- діf r , ™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M h + ' l t P ' = Vft+‘/2( —

vtp'+ - r!g-, Vft'v'Vft+V.VAP'j»

 

Mm-i/jf = — Azm-.1/2

 

 

— Vm-lP'-

ср^т-і°Р Azm-l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

/71— 1 /2

-j-

л

I 0

_

.1.

j.

(6.31)

 

д ~ '

V m - l P

*T" Ѵт _ з / 2у т _ з / 2у т ^ і р

 

/«

Величина Я+і/2 определяется следующим образом:

/•'/{ =

Ь ^ г

[ « №

■ < * *

- / ' ’о .

 

СР А2'/2г і'Р

 

 

 

 

Дг,',

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т' і

 

 

 

 

 

 

 

/*+•/,= Vh+Чі ~Т7-

(* = 1.

2. .

т —2),

 

 

1ft

 

 

 

 

 

 

 

tm-Ч,

 

 

1______ 7 щ - 1

 

(6.32)

 

Azm-1/„ Г7П-1

 

 

 

 

 

 

В векторно-матричной форме

систему (6.30)

представим

в виде:

гг' /+1 — u' I

.іѵ' і+1 =

_ 4 ѵ+/,'>

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

гг' /+ 1 — гг' /

 

 

/ +

1 =

------— у у р ’,

 

 

-)-Z h

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

уЖ Я-1 +

'/ H1 =

-

4-

/+a - т

(6.33)

где ЛГ — диагональная матрица с элементами M h+iu . Как обычно, вводим в рассмотрение спектральную задачу и определяем полу­ ченные системы собственных элементов и со* операторов М '

и ЛГ*. Представляя решение задач в виде рядов Фурье, приходим к системе уравнений для коэффициентов:

u ^ ~ u ' qi

 

- l V g I+1= - ± y +

P g i +1,

 

p

 

 

Vq,+1— V'gl

J_ Jjj' i+1 — __ 1 V7+

/+1

 

I luQ — -----

\уРя

t

 

p

 

 

v X ,+1+ S/yv4l+1

 

(6.34)

244

Остается теперь «подправить»

77, т. е. найти 77+1. С этой цельк>

 

 

h

z

Н

рассмотрим в пограничном слое — — ^

^ — уравнение

 

 

£

 

и

- дТ

д

-

дТ

(6.35)

СРР ~дГ

dz

Vl

dz

 

Член Tw мы отбрасываем, поскольку он мал. Уравнение (6.35)

аппроксимируем следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

-

дт0

V , /2

dT

 

,

dT'

 

 

 

 

dz

 

’/2 dz

 

(6.36)

 

 

 

срР —

 

Az0

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

°ppdz-

 

 

 

 

 

 

 

Az-l/z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А*•/,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C pP A z 0

J

СррГ dz;

 

(6.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az_i

 

 

 

 

 

или окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tl+i = T! + T

 

CpPAzq

 

 

(6.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если теперь воспользоваться новой нумерацией узловых

точек

в океане, то уравнение (6.38) перепишется в виде

 

 

 

 

Ц * = Ц + х vv J ~ /7 + vv,v~ //'

(6.39)

 

 

 

 

 

 

C pP A Z q

 

 

 

Здесь

Ті — значение средней

температуры пограничных

слоев

h

^

JT

после решения задачи о нестационарной диффузии

— Y ^ z

 

из (6.16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.7. М ОДЕЛЬ ДИ НА М И КИ АТМ ОСФЕРЫ

 

 

 

 

 

С УЧЕТОМ О РОГРАФ ИИ КОН ТИ Н ЕН ТО В

Рассмотрим

исходную систему уравнений динамики атмосферы

 

 

 

du

_

dp

 

d

—

du

. — A

 

 

 

Р

dt

-plv =

dx

—

v — + pAu,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d_

 

dp .

d

—

d

. — .

 

 

 

P 4 t- + P Zu:

- d i + ^ r v -dr + PAv’

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

gp =

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

’

 

 

 

 

245

dp

. dpи

.

Ору

 

dpw__~

dt

' dx

'

dy

'

dz

’

Cp?

 

 

д

-

OT

 

 

 

—

V,

Ö Z

 

 

 

 

O Z

1

 

 

 

p = RpT.

 

(7.1)

Систему уравнений (7.1) перепишем в другой системе координат, которую введем в рассмотрение следующими преобразованиями:

X* —X,

У =У,

 

 

z

 

Н т

z

 

 

 

(7.2)

 

 

 

н т-Ъ ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где z = И? (X, у) — уравнение

«верхней»

границы

атмосферы, а

z = I (х, у) — уравнение

земной поверхности.

 

Имеют место очевидные формулы перехода от одной системы

координат к другой:

da

 

da

,

 

da

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dx'

'

 

dz'

dx

’

 

 

 

da

da

!

 

da

dz'

 

 

 

 

T T

dy'

1

 

dz'

dy

'

 

 

 

 

да

 

да

 

dz'

 

 

 

(7.3)

 

 

dz

 

dz'

dz

 

 

 

где а — любая из функций системы (7.1).

 

 

 

С учетом выражений (7.3), очевидно, имеет место

 

da

da

,

да

 

 

да

-W

да

(7.4)

т г ==т г + и -

 

 

 

W

 

 

Т Т

 

где

 

дх'

 

 

 

 

 

 

»

dz’ .

dz'

 

dz'

 

 

 

W-

 

(7.5)

W

= U

— ----- 1-0 ■

dy

dz

 

Аналогично

 

дх

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

д — да

 

 

д (

V

 

да \

(7.6)

~ѳГѵ Tz

H T-

l

T T \ H T- l

T T J •

Остается преобразовать уравнение неразрывности. С помощью формул (7.3) оно перепишется в виде

др

.

дри

, дрѵ . / дри

dz' .

дрѵ

dz' ,

dpw

dz'

\

n ,n

dt

'

dx'

Vdz'

dx +

dz'

dy

dz'

T z

)

U-

246

о

 

 

dz'

 

dz’

и

dz'

имеют вид:

 

оаметим, что выражения — ,

—

 

 

 

dz'

д

 

Н у 1

 

„

3 .

 

1

 

 

 

 

 

dx

дх Н т- 1

 

~ dx Н т — 1 ’

 

 

 

 

dz'

д

 

Н т

 

,

д

 

1

 

 

 

 

 

dy

ду Н т- І

 

” Оу Н т— %’

 

 

 

 

 

dz'

 

 

 

1

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

Е т—\

 

 

 

 

Рассмотрим теперь выражение для производной

 

dpw'

_d_

(

dz'

\

.

d

(

dz'

\

,

0

(

dz’ \

dz'

dz г \ pu I t o ) +H7- (Py ~W ) + ~Ы \ pW -дГ)

Это выражение

дифференцированием приводим к виду

 

dpw'

 

дри

dz'

.

dpи

dz' .

 

dpw

dz' .

 

 

dz'

 

dz'

dx

'

dz'

 

dy

 

dz'

dz

 

 

 

 

.

d

I

dz' \

,

 

d

(

dz'

\

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz'

d

 

HT

■[HT~ z '( H T~ l)\

а

1

 

dx

dx'

Hr - l

dx'

H T - l ’

dz'

 

 

HП

 

 

 

 

 

 

 

 

д

1

 

dy

dy’

H T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

- é r ( - ^ ) - ( H T- D ^ r

 

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx'

H T — l

 

(7.8)

(7.9)

(7.10)

Следовательно,

 

д

[ dz'

\

 

(гщ г) = P“ (H t

 

 

1

 

 

 

'py T T

 

~w ~ = l ^

 

 

 

 

9V (HT — l) ■

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy' HT- l ■

 

 

Итак, выражение (7.10) можно переписать в виде

 

dpw'

dpu

dz'

. дрѵ

dz'

, dpw

dz'

. tIT

e ,

d

1

~ dp - = -Щ Г

 

dz'

Oy

+ ~âPdz'~'~dz+

{H t ~

pu ’W

~ нТ-

 

 

 

-f

(Нт- l )

d

HT- l

 

 

(7.11)

 

 

 

dy'

•

 

247

Смотрите также файлы