при начальных данных |
|
и = иІ, ѵ = ѵ>, Т = Т‘ при t — tj. |
(8.9) |
После того как задача (8.7)—(8.9) будет решена, полученные зна чения компонентов решения при t = tj+1 принимаем в качестве
начальных при t |
= tj для следующей задачи, решаемой на том же |
интервале t} |
t |
гд; tj +1: |
^ + lu — R f ^ r - W . |
|
|
П |
Г ^ |
-griT, |
|
|
дрци, |
, |
дру)ѵ |
, |
дрг)ш' |
__^ |
|
дх' |
' |
ду' |
' |
dz' |
’ |
|
- |
j f + |
( y a |
- y |
) W = |
0 |
(8.10) |
при условии |
|
|
|
|
|
|
w’ = 0 при z*= 0, |
|
|
|
ш ' = 0 при z ' = l , |
|
(8.11) |
Решение задачи (8.10)—(8.11) будем искать с помощью метода конечных разностей по времени. С этой целью воспользуемся мето дом естественного фильтра:
_ to/+. = È g L _ „g„T(+.,
dpf]ul+1 |
. |
dpi}vl+1 |
I |
â |
p |
r |
„ |
d x ' |
~T" |
Q y' |
I |
|
|
|
|
T'+1r |
Tl |
■j.(Ya_ |
Y) w'J+1/2=:0 |
(8.12) |
при условии |
|
|
|
при z" = 0, |
|
|
U7,;'f,/' = 0 |
|
|
w,l+4,= 0 при 2*= 1. |
(8.13) |
В задаче индекс / заменим нулевым, а / -f- 1 опустим. Далее, каждое из уравнений умножим на некоторую величину, чтобы нридать системе форму, удобную для исследования. Тогда получим:
рг) ~ — Zprjy + R T prj -JJ- + egpT)87T= рг]-^~,
РЛ + Ірт + ВГрт] -0 - + bgpvfT = prj — .
і?Грг1^ |
. - |
№т]2Г = 0, |
|
дрЩ 1 |
öppa |
ß j , |
dpr\w' |
_ Q |
дх' |
ду' |
1 |
dz' |
’ |
— т |
— |
|
— jo |
|
арЛ — + gprfw* = арц — |
(8.14) |
при условии |
при z' = 0, |
|
w' —0 |
|
w‘ = 0 |
при z* = 1, |
(8.15) |
где |
|
|
а = |
Уа— У |
|
|
|
Нетрудно убедиться, что если положить Т = |
const, а = Ъ — О, |
то для системы (8.14) при условии (8.15) имеет место квадратический закон сохранения энергии:
1 |
|
|
^dz’ Jj*рт) (u2-\-v2jr a T 2)dS = const. |
(8.16) |
о |
s |
|
Введем в рассмотрение вектор-функции
иpw°
Ф0
TccpT0
иматрицу А такую, которая переводит вектор Ф в вектор, совпада ющий с левой частью системы уравнений (8.14).
Очевидно, матрицу А следует выбрать в виде
|
РЛ |
- грл |
0 |
^RpT £ |
agrfp |
|
т |
|
Ірг] |
РЛ |
0 |
ч*р f w |
bgvfp |
|
т |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
—gtfp |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
g4*P |
0 |
СфГ] |
|
T |
|
|
|
|
|
Введем в рассмотрение матрицу А, в известном смысле близкую к матрице А:
РЛ |
- |
/ p p |
0 |
|
|
RT |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ p p |
|
РЛ |
|
= |
d |
RT |
|
T |
0 |
W w |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
RT2 |
R T ^ r m |
r > m |
9 |
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 1 |
w |
m |
|
|
|
0 |
|
0 |
gnpn |
|
0 |
|
В матрице А все входные параметры предполагаются зависящими только от одной координаты z'. Поскольку горы занимают незначи
тельную часть поверхности Земли, то в качестве величин Т, р примем их стандартные распределения, которые обозначим соот
ветственно Т и р, а т| будем считать константой.
Теперь систему уравнений (8.14) запишем в виде |
|
Аф = 1. |
(8.17) • |
Решение уравнения (8.16) при граничных условиях (8.15) будем |
искать в виде |
(8.18) |
Л(ф«+і_фп)=;_ (Лф п _ Л |
Этот итерационный процесс будет сходиться тем быстрее, чем лучше оператор А будет аппроксимировать А. В предельном случае, когда А — А, очевидно, точное решение будет найдено за одну итерацию.
При такой аппроксимации, конечно, требуется, чтобы оператор А был достаточно прост в реализации. Именно в связи с указанными соображениями нами и был произведен выбор этого оператора.
Суммируя все сказанное, можно отметить, что оператор А будет тождественно совпадать с оператором А в тех областях земного
шара, где орографией можно пренебречь, и в предположении, что уровень Н т не зависит для этих районов от х, у.
Следовательно, отличие А от А в основном будет иметь место в районах со значительной орографией. Это обстоятельство побу ждает нас перейти от оператора А к отклонениям.
С этой целью введем в рассмотрение следующее представление:
А —А -|- ал,
6(p p )
т
18 (p p )
0
5
0
—t ö ( p r j) |
0 |
|
agЦ2р |
б (p p ) |
0 |
|
bgrfp |
т |
|
|
|
|
0 |
0 |
ö(BpriT*)-£r |
—6 (grfp) |
п |
X |
0 |
0 |
0 |
6 (g-ifp) |
0 |
6 (aprj) |
|
T
а
l = RT с>х'- б (pp) -J- e m s F - P T ) ,
д
л-Н~Т оу' - б (рт)) +
а
X =-- НТ ÖZ б(рц) + ö(RT) J L p Ц.
С учетом соотношения (8.18') метод последовательных приближе ний будет иметь вид
где невязка итерационного процесса Fn будет иметь вид
Переходим теперь к решению уравнения (8.19). Для этого от бросим индексы и уравнение (8.19) запишем для одного шага итера ции в форме
где F считается величиной известной.
Уравнение (8.21) в покомпонентной форме примет вид:
—----Іѵ -I- |
i ? |
f = |
1 |
т |
дх |
|
- + l u + R T - p r = f a\ |
т |
ду J 1 |
R f ^ - g r - g ^ T = f s\
|
ди . |
дѵ |
1 |
д |
~~~~ |
а |
|
|
|
|
|
J7''~~dyr |
|
^ p p u > '= /<4), |
|
|
|
РР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (6). |
|
|
|
(8.22) |
Напомним |
еще раз, |
что |
здесь |
Т = |
71(z'), |
р = |
Р (z'), |
ос = а (z'), |
ц = const. |
Функции |
f(i) |
определены |
следующими формулами: |
/(1>= -----sL- [б й ) |
—16(рр) Уп f б (ДУрр) ~ г |
+ |
agpp2!”1 — РР ^ , |
/<-»= — Й ~ [ 6 (^ ° ^ + гб ^ |
|
+ б (Дf й ) ^ |
+ |
|
+ bgpr)Tn — pp |
|
, |
|
|
|
|
|
|
/<3) = - |
4 - [б (д гр р ) -5^ - |
б о й 2) г 1] , |
|
? і}= — |
w k г |
6 (р л) “а - |
ж |
6 ^ |
|
ѵП+ 4 ^ 8 (м |
) «>'"] - |
|
б (ВТ) |
|
|
|
д |
- |
|
д |
- |
Лп “| |
|
|
яІ’Щ |
|
рцц |
|
ду' |
рру" + |
dz' |
ррн;' J , |
|
j*M= — - і - Гб(a p p )^ + 6 ( g p p 2)u/n— арр - ^ Л |
(8.23) |
|
p p |
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 -J |
|
Здесь такя:е предполагается, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и? ~ О при z* = |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
при z* = |
1. |
|
|
|
(8.24) |
Переходим к построению разностных по z аппроксимаций за дачи (8.22)—(8.24). С этой целью введем в рассмотрение систему основных узловых точек zk и вспомогательную систему zft+i/2. Аппроксимируем уравнения так, чтобы Т и w' принадлежали ос новной сетке, a u , ѵ и ср — вспомогательной. Но прежде всего вы разим w через ф. С этой целью аппроксимируем уравнение статики
|
іа |
/ а |
/ 2 |
* p Z W J* \ |
(8.25) |
|
|
Д4 |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
сз>. |
б(ДУ*рр), |
Ч 'ъ к^ - |
и- - б ( й 2)*П |
|
Ік |
|
РР* |
|
|
|
|
|
Из уравнения (8.25) найдем Tk |
|
|
тI |
RTh |
%+Чг~ % - ' и |
- 4 / Г |
(8.26) |
|
?Р |
|
A4 |
|
|
гр |
|
