Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Далее,

где

Д(6 )

Исключим

чим

из уравнения притока

тепла

выразим w'k через Тк:

 

ak

Т

I

Я5)

 

wk -

■чг

(8.26')

 

1

--- — Jh 1

 

g r ) T

 

/m

 

 

 

 

 

 

б(арЛ)* ■—

+

б ( m

2) w'k - (арл)* - r f \ .

 

pp*

 

 

 

 

 

из соотношения (8.26')

 

с помощью (8.26). Тогда

полу­

w'k =

О, к = О

УМ

Ѵк+Чг ~

ф * -*/

+

- S h

Д" + 4

Ды, Л = 1, 2 ,.. ., т е - 1

(8.27)

т

Дгй

 

Г Д Г й Т

£Т]

 

 

 

 

 

 

О,

к = пг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аппроксимируем

остальные уравнения

системы

(8.22):

 

 

 

и

 

 

 

 

 

Ѵ к + Ч ,

_ Л 1

)

 

 

 

 

Ь ' - ' І г

7 „

I

и ¥

 

 

 

 

ид<9ы

 

 

 

 

 

 

 

 

----ІѴь+ч, + ІІ1 ft+v. — d z — —/*+*/.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d<Ph+4

— Z\fi)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ R T h+iА dy' •

/ft+Vn

 

 

d u ft+V.

d u h+4t

 

1

(РЛ)*+1 ШЛ+1

(P'nJfe'Cft

^(4)

/о noi

dx'

 

dy'

 

=

 

Лѣ’< ~ --------- = /*-‘/. .

(0-^0)

 

 

 

 

(ртрй+1/і

Azl

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

“ ‘ fl+' /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДѴ-л = -

 

 

 

б ( Р Ч ) %

 

^б (pTl^+i/^fe+i/, +

 

 

 

 

(P^h+V.

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ö(RTpr))k+4, ^ t ^ -

+ («*РіѴ ѵ . —

г 17* - Й

Ь ѵ

. - ^ 1

^(2)

_

 

 

 

 

‘Ѵ 4/,

^б (рЧіД+Ѵ.“^-'/.'

 

/*+*/. = --- 7=

 

 

б ( р г |) (И-1/.

 

 

 

 

(pn)h+v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 (ЛГрГ))^ . -

дЧУь^fc+V*/».

_іI_ /,»17bgnn2'iГ.ПГ|2\. .. ,

-ThMliR-t-l-+ T h ___/ п п \ . . . .

^ + ‘А

 

 

/» —

-----г (»gP^M+V.-----

2

 

(pp)ft+v>- ^

 

J(4) _

RTh+4,

RTft+ч, (Pp)h+>

А ів й ) , +./,* .,.і + dy

i j l ß f p i W v A - / ,] '

8 < " ) * « < - » ( ^ t "

Azft+V.

«(ЙГ)4+1/!

öp- (рг)и ^ / !+ 1 ^ ( р Л + 4/1-

ИТк+Ч, (P^fc+V,

(ррц)'П)^+1 — (ррш,П)й

•AzftfV«

17 Заказ 674

257

Подставим выражение для wjj из (8.27) в систему разностных уравнений (8.28). В результате будем иметь

± u k+42~ lv k+4s + RTk, lh -^§±^- = / Г+1/1'

дх'

1

Vh+i/i+lUh+'l2-\-RTk+>/t

<9<Pft+i ,

2

J (2 )

 

т

ду'

-

/*г‘/„

 

діIЫ-1/2 т

f t + ' / 2 “i"

 

 

— Д+‘/2і

(8.29)

где оператор Л и величина Д+’/г определяются следующим образом:

р іх і (ф. / , - ф./,) ^ fc = 0j

- i ( p r \ ) , ! 2 A z ' i / 2

P k+ іУ М і (Фд^»/8—Ф /г+і/|)~РШ (ffe+i/, —Фй-і/2)

ЛфА+Ѵ, =

T(PTl)fefi/2 АД+і/2

 

 

 

 

Р т-іХ т-і(ф т - і / , — Фт -»/2) ,

к = т

— 1;

 

 

 

 

 

T(PTl)m-I/2

 

 

 

 

 

 

J ( 4 )

РіХі

/і3)

 

(рлЬ/і»

,

/с = О,

 

 

/*/*

RTlx{pr])4 Az'lj2

 

 

 

 

ё-П(рті)І/2 АгГу

 

 

 

 

 

 

Pft+lXA+1

j(3)

P k X k . лз)

__

 

лв)

_

 

 

 

,^2

'ft-Hl

D7F?

'ft

'лѵ.

 

Д £/, -

 

ДП+і

 

л «

 

(РД)а+іД5Л - (РЛ^ЛД’

/ft+V* —

 

т(РЛ)ь+./2ЛД+*/2

 

гл (рг|)к+1/гА 4 +1/г

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

-

 

/(3)

 

(РЛ) т-і^т-і___

 

 

/£«/, +

pm-iXm-i

 

'w i-l

 

 

 

Д Г т - і Т(рг1)т _1/ д 2); _ 1/2

гл(РЛ)т - . / 2А2т -1/2

 

 

 

 

 

 

А: = т

— 1.

 

 

 

 

 

 

Введем

теперь в рассмотрение скалярное

произведение

 

 

 

 

 

 

m-l

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■P^ifJ/2

 

 

 

 

 

 

(a, &) — 2 aft+*/A“Ä+VlW/*-t-1/» 'д~тft+Vä

 

и спектральную задачу

fc=0

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.30)

 

 

 

 

 

Л'Фй+Ѵг =

f‘/2

 

Нетрудно убедиться, что при выбранной метрике гильбертова пространства задача (8.30) самосопряженна и допускает полный набор собственных элементов, которые соответствуют неотрицатель­ ным Xq. При этом А,0 = 0 является точкой спектра.

Итак, имеем полный набор.tJ^, где

ОІѴ Ч>*.) =

1,

?* = 9.

0,

q‘ ^ q .

 

Приступаем к решению задачи

(8.29).

.2 5 8

Решение системы алгебраических уравнений (8.29) будем искать в форме:

ик\-Ч 2— RTy+і/г Uqtyq, Vk+'U^RTk+ii^VqÜpq,

Я

 

ф*-»*/. = 2< М ѵ

(8.31)

где uq, vq и і|)? — коэффициенты Фурье, вычисляемые по формулам:

= Ы - ъ ■ Ѵ' = Ы - ^ ’

R T ч! 4 \ R T

% = {%, Ф?)-

Далее, правые части в (8.29) также представим в виде

/ $ ■ / . = R T k+4z S

(j = 1 . 2 , 6 ),

где

Я

 

:(/) __ /

Д/)

 

/'

%)■

/;

1Г>

 

R T

 

(8.32)

(8.33)

(8.34)

В результате для коэффициентов Фурье приходим к системе уравнений:

- и„— Іи.Ѵ‘г 0(Рд _ ні)

dx' ’

т Vq+ lu4~r~d^q _у(2)

dx'

1 dy'

(8.35)

 

Решение системы (8.35) уже не представляет труда.

7.9. Д РУ ГО Й , БО Л ЕЕ Э Ф Ф ЕК ТИ В Н Ы Й ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ А ЛГОРИ ТМ А РЕШ Е Н И Я СИСТЕМЫ (8.14)

Запишем систему уравнений (8.14) в более простой форме. Пред­

положим сначала, что на первом шаге расщепления решаются урав­ нения:

-

du

Г)

dz'

ди

+ р.Л'и — agpr\T,

Р~1Г ~

Л dz'

 

 

— dv

 

д

(-,77- + Млѵ -

 

P I T ~

 

 

 

рД Г = _ L _ L » _ч. w

1 Ср

‘ dt

ср

ц

dz

т|

dz 1 Ср

17*

259

 

Далее решается задача по адаптации метеорологических полей:

И

— to + R T p r

и°_

 

X

 

 

 

ох

т

’

p + l u + RT

 

дер

vO

 

ду'

~Т’

 

 

 

0ф

= gi\T *

 

 

RT2 dz'

 

<?рт]и , дрг\ѵ

! <5г]ри/

n

 

dz'

 

 

'

dz’

~~ U’

 

T .

 

,

T о

(9.1)

а — +

 

 

— а —

при условии

 

при

z' = О,

 

и/ = О

(9.2)

Іі?" = 1

при

z '=

1.

 

Из трех последних уравнений исключим Т и и/. В результате си­

стема уравнений

(9.1)

перепишется

в

виде

 

 

 

1

 

7,,

t

D T 1

k+ч, —^т—•

 

 

 

— Uh^Jz — lVh+Vt + R 1

 

 

 

1 . .

:

Л .

;

Т>Ф

 

Ö(P f t +‘ / 2

У“ + Ѵ 2

 

— Vk+4 t -\-LUh+4 t -4 Ш h+'U—Qp----- =

 

»

 

ö(pVi“ )h4. . /t

,

<HpT)v)h+4 ,

1 _

 

1

,

(9.3)

--------------H--------вр-------- Т £ф*+ѵ. =

- 7

/Л4‘/,.

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P l X l ( Ф . / . - Ф * / . )

 

7.

А

 

 

 

 

--------------д -

,

/С —

U ,

 

 

 

 

 

л2і/2

 

 

 

 

 

 

 

£фh-tl/2—

Pft+Ш+і (Ф^+у2~Ф)і+ѵ,)~РШ (Фь+у2~~ Фь-yJ

 

 

 

 

 

Azft+V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P m - lX m - 1 (Фт _ і / г — Ф т - у 2) ■, к = m — 1;

 

 

 

 

Azm-V,

 

 

 

 

 

 

«1 (Pn)i T\

k = Q

 

 

 

 

 

 

ё Ц ^ /,

’

 

 

 

 

 

 

 

 

«fc+1 (pT])ft+iT°h+1 — ak (p4)kTl

, к — 1,

2, . . ., m — 2,

 

fk+'h

 

gr] Az fc+‘/2

 

 

 

 

 

 

 

и т

 

 

о

 

k = = f f i __I

 

 

 

- 1 (Р Т р т -іГ го -і

 

 

 

 

260

Смотрите также файлы