Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разрешим два первых уравнения системы (9.3) относительно Щ+уг, ѵк+ч,. Тогда получим:

ик+Чг 14-т2/2 [ ( ц і + ч , + а ѵ %+./,) — тЯ Tft+1/, (фх' + (Хфу-)I,

1

Т Н и /, — (ш*+1/,) — тi?fA+Vl (qy — aqv)]. (9.4)

yft+Vf— 1+Т2/2

Выражение (9.4) подставим в третье уравнение из (9.3). Тогда будем иметь

І'ПРл+Ѵ. (фх' +

Щу')к+чА +

~Щр~[ЛРл+ѵ. (Фу' — аФ*')1

 

 

 

,

і + г2т2

_

 

 

Г

 

(9.5)

где

 

Н------ ^2-----ЬЩ+ч, = г h+'M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"«+■/.= ( - Ц ? 1 ) (/**■/.+

 

■Т т [ А

- Ч

Г

> » - ѵ ,

- Ң^ т - Ч Р и ѵ .О ’” - m i " )

(9.6)

Уравнение (9.5)

запишем в операторной форме

 

где

 

 

А4к+Чг = — Рк+ЧгУ

 

(9.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Atyh+Чг =

~jp~ [^lPfc+Vt (фх' +

аФѵ')й+'/«] “Ь

 

ду-[ЛРм-ѵ. (Ф»' — аф*')ь+ѵ.1 Н----^ ----- £фк+ч,-

(9.8)

Введем далее в рассмотрение оператор А, эквивалентный по

спектру оператору А. Пусть

 

 

 

 

 

 

Лфл+ѵ. =

-g p -Im . V* (Фх' + «Фг/')^+ѵЛ +

 

д

г =

 

/

 

\

, 1 + г2т2 V

 

-

hPfc+V, (ф*' —aqv)ft+*/,l +

—

----Lcpft+v,.

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р Ш ( Ф . / . - Ф . / , )

,

fc = 0,

 

 

 

 

 

Azt

 

 

 

 

 

 

L<tk+4, =

Pfe+iX^+i ( T f t + y ,

Ф ь + у 2)

Р Ш

( Ф ь + '/ , — Фй- ' / J

(9.9)

 

 

 

 

 

Azh-T1/«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— P m - l X m - l (Фт - і / , — Фто- » / 1) ,

/с = ТО—1.

 

 

 

 

Azm-‘/2

 

 

 

 

 

Теперь решение

уравнения

(9.7)

будем

искать в виде

 

 

 

Л (фпи — ф") = — (Лфп — F).

(9.10)

2 6 t

Оператор А представим следующим образом:

А = А + 8А,

б^фк+ѵ. = -jp- Is (Tip)fc+*/«(ф*' + aqy)] -t-

+ -^г[б (ЧР)к+чЛЧу —аФ*-)1 +

- ^2'2Т2 6^cpfe+i/2,

где

 

Т2

 

 

Д (рх)і (ф. / , - ф. / і)

fe = 0

Az>/2

 

 

б (РХ)й+і ( Ф ы — Фй+- / , ) -

Д (РХ)й (<Pk L./ , - Ф й -«/ ,)

öZ-cpft+i/2=

д*к+ѵ,

 

(Р Х )я і- І ( Ф т - 1 / , ~

фщ_» / , )

, к = т —1.

A z m - V «

(9.11)

, (9.12)

В этом случае итерационный процесс (9.10) упрощается, принимая вид

■^ф"+Ѵ« — — (б^4фй._1/г — Fh+i/s).

(9.13)

После того как <р*+і/,

найдены,

остальные функции

находятся

с помощью явных выражений.

Так,

п й+і / 2

и нй+і /2 определяются

формулами (9.4), а Tk и

wk —

 

 

 

 

 

 

 

Д Г 2

Фй+Ѵа

Ф й - 1/»

 

 

 

гл

 

 

Azft

 

 

 

 

 

 

1

d T k+i / t

 

(9.14)

 

 

Уа~У

 

St

 

 

 

 

 

 

 

 

7.10. СВЕДЕНИЕ ЗА ДА ЧИ АДАПТАЦИИ

 

 

 

К С П ЕЦ И А ЛЬН Ы М Ф У Н К Ц И Я М ТОКА

Рассмотрим систему уравнений адаптации

 

^ - l v

= - R T

дф

*

 

 

 

 

 

 

 

д х '

 

дѵ

+ b = - R T - $

 

 

d t

 

 

 

в т * - $ - = т Т ,

 

 

dp r\u

,

dpy]v

,

dpr\w'

 

 

dx'

+

dy'

 

'

дъ'

 

 

 

д Т

 

 

 

 

 

 

(10.1)

S t + ( ' i a

— 4

W

= b

 

262

при условии

w' —0

при

z' — О,

w" —0

при

( 10.2)

z '= 1.

Решение этой системы уравнений будем искать с помощью метода расщепления:

тД+'Ь_и3

1

 

— ЯтІ+'/а

if

--------Ч - -

± ѵі+Чш=-ПТ ,ЛР

 

 

 

 

 

дх' ’

 

iß*'/2— iß

. I

•,! ,

Л

 

----- ------

 

+ T u>+ /^ О ,

 

дpr|гP+1,,2

I 1

дР

_Л

 

ä?

 

*" ~2

и’

 

;

 

 

w 'i+' /г

------

t-(Y«-Y)— 2— = 0,

 

R f 2^ ^ = g 4 P + '/ >

(10.3)

— первая расщепленная система и

.j'+l.J+Vs

I

 

if------!f-------- 1уЯ-1=: 0.

/Р+1 _тР+' / г

 

1

7

 

_

ятЯ-І

Т

^

 

ц>+1 = _ /?Г °ф

2

 

 

П 1

Ѳу' ’

0рт]г/+1

,

 

1

öpr)u/^+1

о ,

ду'

 

 

 

2

dz'

 

 

 

 

1 ___

/s

 

 

y;-fi

 

 

 

 

■(Ya —Y)iV

- = 0,

(10.4)

~~вторая расщепленная система.

Кпервой и второй системам присоединим граничные условия

w>j+'/i = о

ПрИ

z* =

О,

(10.5)

w’i+'it _

о

при

2* = 1

 

П7,-,Ч1 =

0

при

z* =

О,

( 10.6)

 

 

ЦрИ

 

 

263

Решим по два первых уравнения из (10.3) и (10.4) относительно и

и и. В результате получим:

 

 

 

 

 

iP'+'12

 

 

12т2

uf +

-у- V1 — xRTpp''2

 

ѴІ+'/2

 

г2Т2

 

 

 

 

(10.7)

 

 

 

 

 

 

 

/7+1 = .

/2t2

 

 

 

 

ІТ2 „=

 

 

 

 

 

 

 

 

yi+‘/2_

цК1/, -

тЯГф^+іJ .

(10.8)

“Г "

П/+1 :

1

 

№*-

И,

Далее, введем в рассмотрение

функции тока по формулам

 

- , , , ,

 

1

д р +Чг

-

,j+и ,

dtyi+'1*

(10.9)

p ^ f / 2 =

 

H L _ ,

ртщ,

 

 

, ( + i . 1 dp +i

рцш.',3и

 

д\ьі+1

 

 

Т~дГ~

 

 

~ w ~

 

Исключив из двух последних уравнений

в (10.3)

и (10.4)

и Т’+1, получим

 

 

 

 

 

W

RT%

д р +1/г

1

• Т1

2

(Уа — У) dz>

+

T (Ya— Y)

 

w'3+i

R T -

д р * 1

 

 

 

 

т^р(Ѵа-Ѵ)

öz' "И T(Yo-v) -Ті+'І*.

Комбинируя далее (10.7) и (10.11), будем иметь

 

иІ+Чг-\~.

tRT

 

 

 

 

-------- ф?+ /2

w

 

( u /+ T - y' ) ’

 

/2Т2 ЧѴ

 

J+' /2

ДГ2

 

 

г/.

 

^•n(Ye-V)

 

 

 

 

T (Ya— у )

 

причем г/+1/2 выражается через

ф(.+1/2

следующим

образом:

( 10. 10)

Г/+1/

( 10.11)

(10. 12)

(10.13)

у2+'/і = • W

— Г м/

(10.14)

1-+

 

 

264

и аналогично

из (10.8)

и

(10.12)

получим:

 

 

 

 

t R T

„зи —__ і___ _ І1ui+'/• ^ ,

 

 

,,/+ і----ША—

 

 

 

1

/2Т2

% ’

12т2

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

и; 'jfl

 

ДГ2

1

fi+'l*

(10.15)

 

 

2

1gT)(Ya—у)

т (Y a -Y )

 

 

 

 

вместе с

соотношением

 

 

 

 

 

 

w}+1.

1

/

/ ,

1т vj+'/, — llLRT<pfr^ .

(10.16)

 

 

1-

J2T2

 

 

 

 

Итак,

мы

получили

дифференциальные соотношения

(10.13)

и (10.15), которые могут быть преобразованы с помощью выражений для функций тока (10.9), (10.10).

Подставляя (10.9), (10.10) в (10.13), (10.15), получим системы дифференциальных уравнений

1

 

 

 

 

т R T

<ѴѴ Л _

 

1

/

, , lx

 

 

2рт]

dz'

 

 

 

12Т2

д х ’

 

1 -

■

W (

M

/ : T

- y / ) ’

 

 

 

 

 

1 -I------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4

4

 

 

 

‘ ‘

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Л|4+14

 

 

RT-2

 

дц>і+ 1 /г

—Y—-— г Г

(10.17)

 

 

2рт)

 

 

 

 

T^ ( Y a — Y)

d z'

 

 

 

 

 

 

 

 

T(Y a--Y )

 

 

7

1

<5ф'+1 .

x R T

 

âcp/+i

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2рц

dz'

.

,

Z2T2

d y'

„

 

/2T:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H — Г -

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

dy'

-1_____________________ 1___ f j +Чг

(10 18)

 

 

2pr)

'

xgx\ (ya — у)

d z'

 

T(Ya — Y)

'

{

'

Исключая из (10.17) и (10.18)

 

 

и ф/+1,

приходим к

уравне­

ниям для

функций

тока

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

д

I

1

А4‘'/2■ )

I___ T*g

 

/Ya —Y

 

 

 

 

 

<9ф

 

\

T

 

12x2

 

 

 

 

öx

=

- f f ,

(10.19).

dz'

\

 

dz

 

,

 

âx'

P T

 

 

1 4 -

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р =

-

 

Z2T2

 

d

«

' +

4

 

_х___ I. g_|)

fi

 

 

14

 

dz'

V

Д Г

 

 

дх'

(

R T i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

I

1

dyjpi

 

 

 

T2g

 

ö

L

 

 

 

 

 

 

(10.20)

dz'

( 4

dz'

 

 

 

 

 

 

 

dy'

)

 

 

 

 

1

4 - 7

 

1

p F

 

 

 

 

 

где

\РЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/■4‘/. __

 

 

 

 

_d_

( • ' " Ч

г

K ^ 2

N

 

 

 

 

 

 

Z2T2

 

 

 

)

T —- —

 

 

 

 

 

 

dz'

V

 

Я Г

 

 

//

T

dy'

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

265-

Смотрите также файлы