Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

К уравнениям (10.19), (10.20) присоединим естественные граничные условия:

фЯ-1/2= 0

при

z' = 0,

(10.21)

фІЛ/г ;= 0

при

z' = 1

 

ф'41== 0

при

z' = 0,

(10.22)

ф'+1 =

при

z' = 1.

= 0

 

Переходим к решению задач (10.19), (10.21) и (10.20), (10.22).

Отбросив индексы как несущественные, эти задачи представим в сле­ дующей форме:

ö

/ 1

г<5тр\ .

 

т2g

д I уа —у

дф \ _

,

(10.23)

dz'

[~т

 

dz' ^

 

 

 

дх' [

 

рт

 

dx'

h

 

~г

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф = 0

при

z' = 0,

 

 

 

 

п

 

 

ф = 0

при

z' = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

( 1

 

) 4-

%2g

д ( Уа~У

_£Ф\ — _ і

(10.24)

dz'

 

dz'

 

_ ß r I ду'

{

 

- f

д у ' )

 

>'

 

 

 

 

 

 

^

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф = 0

при

 

z* = 0,

 

 

 

 

 

 

 

ф —0

при

 

z* = 1.

 

 

 

 

Наконец, эти

задачи

представим

в

операторном

виде

 

при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.25)

 

 

ф — 0

при

z' —О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.26)

 

 

 

ф = 0

при

z' =

l,

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

д

J __д

\

\

T2g

 

9

 

( Ча—У д

\

 

А

 

 

 

dz'

 

 

 

 

рц

^ z

I

л

1 ^2т2

^х

V

р Т

дх

)

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

Введем в рассмотрение оператор А, «близкий» к Л с просто реа­

лизуемым обратным

оператором Л-1.

Пусть

 

 

 

7 = _ £ _ М __ д \ I

1 4

 

9 ( Уа—У д \

 

 

dz'

\ Щ

dz'

’ ) - Г

4

д х ' у

J f

дх'

’ J •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где p, T , у зависят только от z',

а т| =

const. Тогда для решения за­

дачи (10.25) при условии (10.26)

сформулируем

итерационный

процесс

 

J

(!j,nJ 1 _

!j,n) =

_(Лф" + /),

 

 

(10.27)

 

 

 

 

266

полагая

А = А + 8А,

где

или

Аналогичным образом решается задача (10.24). Этот процесс

представим в более удобной форме

 

= — Fn,

(10.28)

где

 

Fn = бАфп+ /.

(10.29)

Уравнение (10.28) для фиксированного итерационного шага п + 1 решается весьма просто, а именно: рассмотрим задачу на собствен­ ные числа

рт _ d

/

1

da \

 

Ча —У dz

\

jrjYj

dz

J = —Xco,

 

CO= 0

 

при

2* = 0,

 

со —0

 

при

2* = 1.

(10.30)

Введем в рассмотрение скалярное произведение

рт

dz". (10.31)

Уа —У

Тогда нетрудно проверить, что в этой метрике задача (10.30) оказывается самосопряженной. Это значит, что {со, (z)} образуют ортонормированную систему, т. е.

1, q' = q,

К , су) =

0, q" + q.

Далее, решение уравнения (10.28) и вектор Fn представим в виде ряда Фурье

Ф™' 1 = 2 ФГ1®?’

Я

(10-32)

Q

где Ф2+1 и F™— коэффициенты Фурье:

ФГ1 = (Фп+1, ö?), F? = {Fn, со,),

не зависящие от z'.

267

Подставляя (10.32) в (10.28) и используя условие ортонормировки со9, обычным способом получим

-Ѵй,п+1_

хЦ

()х,2

(10.33)

12x2

или

ХЧ

 

 

 

0 2 ^ + 1

(10.34)

- W 1-

12x2

- F »

 

 

ду'

 

в зависимости от рассматриваемой задачи (10.23) или (10.24). Заметим, что в уравнении (10.33) является параметром у', а в

(10.34) — x '. Решение задач (10.33), (10.34) при фиксированных параметрах находится с помощью квадратур.

Рассмотрим вопрос аппроксимации уравнений адаптации. Как было показано автором1, дифференциальным уравнениям в частных

производных (10.1)

с

условиями

(10.2)

целесообразно поставить

в соответствие систему обыкновенных (по

t) уравнений:

 

 

- ^ - - l v = ~ R T Vtcf,

 

 

-^- + іи = - Д Г ѵ*Ф,

 

 

 

Т

RT2-

 

 

 

 

 

 

£Т)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V* (рЩ -

Ѵу (Р1Ѵ) --

Vz (p^w) =

при условии

 

i -

+ (Yfl- Y ) ^ = 0

(10.35)

 

n;0 = 0.

wm = 0.

(10.36)

 

 

Здесь использованы

следующие

удобные для дальнейшего

обозначения:

 

 

 

 

 

__ _

 

\ х и

а к+Чг

 

“ fc-Vs

 

ak — ak-i

 

A xk

 

 

 

Axk - ' / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

а 14-l h ~ a l ~ ' h

 

Ѵ у а

“

al ~ al-1

 

 

A w

 

 

A x i - Ч ,

 

 

 

 

 

 

\ г а

°П+* /г

 

а п - ' 1 г

 

\ z a

-

a n ---a n - 1

 

Azn

 

Azn -i /,

 

 

 

 

 

 

 

 

Там, где величины в системе специально не отмечены индексами, предполагается, что они зависят от к, I, п, т. е. а = akt ,t„. Штрихи

1 См. М арчук Г. И . «Численные методы в прогнозе погоды».

268

у переменных х, у, z и и> для простоты записи опущены. Соответ­ ственно схемы расщепления (10.3), (10.4) примут следующий вид.

Система первая

Де‘/ . _ ці

I

 

гР'4-V г = —ÄT’yJqP+V2,

.ре1/г

,j /

V* ( р л ^ +1/г+)

Wz (р л г ^ ^ ,/ г=)

о ,

уіе1/г_j'j

+■ (Ya

Y)

Ш3+'/2

°*

 

 

2

-

fi+'U

-

ЯГ2

+

,-,1/

 

g r j

Ѵ*Ф^/г,

 

при условии

 

—0,

<(-,/2 = 0

 

и система вторая

 

 

 

 

 

/

 

 

 

.pel I .„if1/г

 

 

 

- —

т

-------- 4-г;М==0,

 

 

 

 

2

 

’

 

[Р+1 — іре'/г

 

J .

=

- R

_

 

------------- + І.

T ^ r i ,

(10.37)

(10.38)

у- (ру]ѵі+1)+ -і Ѵг (pW +1) = 0,

 

 

----- ;------ h (Ya— Y)—2~ = 0»

 

 

 

Tj+1=

RT*_

+ /+l

(10.39)

При условии

 

 

 

 

ГП

v

 

 

 

 

 

 

w’0+1= О,

ШІ+1 = 0.

(10.40)

 

 

Далее, соотношения (10.7)

и (10.8) переписываются аналогично:

u*V .=

^

[ u

i

+ - ^ v f - T R T y W +4‘]>

 

 

1 '

4

 

 

 

 

 

ѵі~'!1

1

 

 

 

 

1x2

(10.41)

/2т2 P

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

-,y+i —

/2x2

ціе-/г +

i l

yie>/. - i l l Я7Ѵ+ф/+1,

 

г)/+! — .

1

yje1/г ---- Д- ціе■‘/ • - тЯГѵуФ7*1] •

(10.42)

/ 2Т 2

269

Вводим в рассмотрение разностные функции тока:

р щ і у ' 12= ~

12,

рт}w i+1 /2= — у£ф!+11*

 

и

 

 

 

рцѵІ+1 = ~

ѵ?Ф/+1,

pr\wi+1= —ууф/+1.

(10.43>

В результате дальнейших преобразований, аналогичных прове­ денным выше в дифференциальной форме, приходим к уравнениям для соответствующих разностных функций тока:

Vz ѵ£^+1/г) + V* p lf r 1' V ^ j+1/z) = - ? , (10.44)

где

 

 

 

ul

/' =

2

Vz

- s f - . - М М Т '

 

 

 

Vz ( ^

- vM >/+1)

i+ ± ± i

\ pf

v » (■

(10.45)

\m

1

 

 

где

«/♦>/,

ji+ 'I г _

ггт2 Vz

14-

2

R T

ѵ ІЯ Г 2

К уравнениям (10.44) и (10.45) присоединим граничные условия

(по z):

ф/+,/2 = 0,

ф'т+1/г = 0,

 

ФоЬ1 = 0,

Фт1==0.

(10.46)

Решение задач (10.44), (10.45) с условиями (10.46) проводится итерационным методом. Каждую из этих задач обозначим в виде

и введем матрицу А,

 

4ф = —/

 

(10.47)

эквивалентную

по

спектру:

 

 

Т2^

Г7_ I

1’а 1' Г7+

'=Ѵ~ M ^VzV

 

/2Х2

 

Ѵ-Ч

У-'

\ Р т)

/

14-

4

 

Р Т

ИЛИ

 

 

 

 

 

Г2?

 

 

 

 

 

 

<Уа~У

Л= ѵг(-і-ѵ £) + № [ J f

\рц

взависимости от того, какая задача рассматривается.

270

Смотрите также файлы