Тогда аналогично (10.28) приходим к итерационному процессу
где і — номер итерационного процесса,
а |
|
Fi = |
6Аа|Т I- /, |
|
|
|
|
|
|
Л1 |
6Л = yj |
я ( 1 |
\ ^ + |
, |
|
г Ч |
1 |
^ і /2x2 V* [ |
или |
fj1с
|
<
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
«|J-)v+ |
|
|
|
|
= Vz |
|
1 |
12Т2Л/У |
|
|
рх\ |
|
|
|
|
в зависимости от задачи.
Уравнение (10.48) имеет матрицу А уже простой структуры и ре шается с помощью метода Фурье. С этой целью вводится в рассмо трение спектральная задача:
p f -_ |
\РП |
= — Ь ц |
|
Ya~Y ѵ |
1 |
|
(ö0 = |
0, |
со,„ = 0. |
(10.49) |
Тогда решение уравнения (10.48) будем искать в виде
фі+1 = 21 <?
(10.50)
где
Fl = (F\ ©,),
а скалярное произведение определено следующим образом:
т - 1 ___
(а , Ь) = ^ а пЬп ! рТ =-) А'^п-И/г* |
(10.51) |
Vo— Y ln |
|
ß этой метрике, как нетрудно убедиться, система со? ортогональна. Нормируем ее. Тогда будем иметь
I |
1, |
?* = д |
K ,< v ) = ( |
0f |
qf=hq |
ß этом случае приходим к уравнениям для коэффициентов Фурье::
-М > І+,/,+— |
ѵИѵхФГ/2) = - f l |
1+1 |
f2g |
УУ (V^lfl)= —fqr'U- |
|
I*т2 |
|
1-ь |
|
27li
7.11. В Ы Д Е Л ЕН И Е
БАРОТРОПНОЙ СОСТАВЛЯЮ Щ ЕЙ
Было подмечено, что при расщеплении уравнений адаптации и последующем введении в рассмотрение функций тока необходимо предварительное выделение баротропной составляющей. С этой целью снова рассмотрим задачу (10.1), (10.2).
Умножим все уравнения системы (10.1), за исключением уравне
ния неразрывности, на рг). Тогда приходим к слегка преобразован ной системе:
|
дртг)и |
— Ірцѵ |
|
д р щ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
дх' |
|
|
|
|
дрцѵ |
- - lp y \U |
|
(5рг]ф |
|
|
|
|
dt |
|
ду' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—gpr\2T + Tpr\-^r=;0, |
|
|
|
д щ и |
|
дрг|у , dpr\w' |
j- |
|
|
|
дх' |
1 |
ây' |
dz' |
|
|
шри условии |
|
+ (Ча-Ч) pT]«/ = 0 |
( 11.1) |
pr)u;' = |
0 |
при |
z ‘ —0, |
|
|
|
( 11.2) |
|
|
pr)u;' = |
0 |
при |
z' = l. |
|
|
|
Введем далее в рассмотрение следующую вспомогательную си |
стему |
уравнений: |
ятт |
|
|
дФ |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ г - І Ѵ |
dx' |
— U’ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
i L |
4і-и 4 - д ф |
= |
о |
|
|
|
dt |
|
|
|
1 ду' |
|
и ’ |
|
|
|
|
d U |
, |
д Ѵ- = o, |
|
(11.3) |
|
|
|
дх' |
■ |
ду' |
|
|
|
где и , |
V и ф связаны с U, V и Ф следующими зависимостями: |
|
|
|
u = J - U + u', |
|
|
|
|
|
|
|
РЦ |
|
|
|
|
v = J - V + v \ |
• |
|
Т = -Т^ 7^ г ( ^ - ) ф + Г , |
|
рг] |
|
|
|
gpT) |
oz |
Vрц |
I |
|
|
|
ф= |
|
- J r - Ф + ф*, |
|
(11.4) |
|
|
|
|
|
Р Г) |
|
|
|
причем считается, что U, V и Ф не зависят от координаты z'.
Подставим (11.4) в (11.1) и воспользуемся системой (11.3), тогда приходим к новой системе:
Ѳи' |
, , |
, - |
дф' |
- |
/ |
1 |
дрл\ \ |
т |
~ д Г - І Ѵ - ѵ р Ц |
|
( з г - 7 ^ ) Ф - |
|
|
|
|
|
|
рг\ |
дх' |
|
dv' |
. , , |
. - |
dff' |
= |
( |
1 |
dpi] |
\ m |
— |
-Ylu |
+ Р Ч ^ |
( ^ Г -5Г ІФ. |
|
|
- е р ч Г + р г 4 г 1 = о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz' |
|
|
|
|
|
|
ö p r |u ' |
, |
дрг\ѵ' |
, |
<9рг)и/ |
__ n |
|
|
|
|
|
дх' |
+ |
ду' |
|
' |
ö ? - — ’ |
|
|
|
dt |
'-(ya- y ) w = - — |
|
-äp-l— |
; |
(11.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
рт) |
|
|
при |
условии |
ы>' = |
0 |
при |
г* = |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w‘ = 0 |
при |
2* = |
1. |
|
|
( 11.6) |
Задача (11.5)—(11.6) уже приготовлена к расщеплению, которое |
удобно выполнить в три этапа. На первом этапе |
|
|
|
ul+' h — и * |
1 |
|
д щ |
|
ф / +1/ » _ р ф / |
|
|
|
~ Т |
— |
|
|
дх' |
|
|
2 |
|
’ |
|
|
|
ѵі+ '/,_ ѵі ^ |
1 |
|
а р г | |
|
ф / + ’ /з _ )_ ф / |
|
|
|
т |
|
рг| |
|
ду' |
|
|
2 |
|
|
|
|
ті + Ч * _ т1 |
|
p f |
|
д |
( |
1 \ |
ф / +,/ . _ ф / |
|
------------------------------ ' — ‘ ----------- |
(11.7) |
|
|
Т |
|
g pp |
|
Ö z' |
\ |
рГ| / |
|
|
т |
|
на |
втором этапе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и.1+г13—м/+1/’ |
Z |
|
/+*/> |
, |
— Ѵ +2/з |
п |
|
|
Ь./+Ѵ »_£,/+•/3 |
J |
|
/+І/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— dyf*1! |
=0, |
|
|
|
-Я р т іГ ^ Ч -р Г |
|
dz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зрдм^l"!'/3 |
1 |
öpr|w^+s 13_p. |
|
|
|
|
|
Är' |
1 2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
8 _y/4-1/ S |
|
|
|
,.,/+2/ s |
|
( 11.8) |
|
|
|
|
|
■(Ya—Y)- |
|
|
|
при |
условии |
|
W/ + Ѵ » |
= 0 |
при |
z‘ = О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
,>2/» |
|
при |
z' = l; |
(11.9) |
на |
третьем |
этапе |
w' |
,J = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ѵі+1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
1+1 |
РЦ |
дф7+1 |
|
|
|
|
|
|
|
■=о. |
|
|
|
|
|
|
■ I й' |
|
|
|
|
|
|
- |
g94T ^ -'v p |
T |
^ - |
=0. |
|
|
|
|
г/ргцД+і t i |
dpr\wi+1 |
n |
|
|
|
|
|
dy' |
r ~2 |
|
dz' |
— U’ |
|
|
|
y/+! _ у/+7з |
|
|
шт |
( 11. 10) |
при |
условии |
-------^--------1-(Т0- Т ) — = |
|
u4+1 = 0 |
При |
Z |
= О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и)!+1 —0 |
при |
z' = l. |
(11.11) |
В системе (11.7) Ф; и Ф,+І/з |
— |
функции координат |
(х , у), ко |
торые находятся в результате решения задачи (11.3). |
|
Приступаем к формулировке алгоритма решения задач (11.3), |
(11.7), (11.8), (11.9) и (11.10), (11.11). |
будем искать |
разностным |
Решение |
системы |
уравнений |
(11.3) |
по t методом, для чего эту систему аппроксимируем следующей:
U1+ —UI |
■I |
у1 +1 4- уі |
д |
ф 1+1+ |
ф / |
|
г |
|
2 |
|
* ~дх' |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѴІ+і — Ѵі |
|
+ 1 Ul+1+ ljl |
д |
(])/+! 7- ф/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ W |
|
2 |
|
|
|
|
|
ÖUI+1 |
, дѴІ+і = 0. |
|
|
|
( 11.12) |
|
|
|
|
дх' |
ду' |
|
|
|
|
|
Разрешим два первых |
|
уравнения |
системы (11.12) относительно |
■'+1 и Ѵі+І. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£/■ |
|
|
|
|
(фі;.'и + 1іфі+ чг) |
|
Ul+1= - |
|
|
|
І2Т2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x2 |
[ ( ѵ і |
|
+ ! і . ѵ і ) т |
± ( ѵ |
і - Ц |
- |
и і ) \ |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi+i — — |
|
12T2 |
( ф ^ |
- у ф ^ |
' ) |
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
/2x2 |
|
( v < ~ - ^ U 1) - - J |
|
|
, |
(11.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
