Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

большинстве практических случаев оно достаточно. Ма­ тематически это условие означает, что абсолютная вели­ чина якобиана деформации

не становится ни бесконечно большой, ни равной нулю, т. е. выполняется условие

Это условие часто называют аксиомой перманентности материи, поскольку она говорит, что материю, находя­ щуюся в конечном положительном объеме, невозможно путем деформации перевести в нулевой или бесконечный объем. Соотношение между элементами объема дефор­ мированной и недеформированной областей

справедливо тогда и только тогда, когда выполняется аксиома непрерывности, поэтому неравенство (1.4) экви­ валентно соотношению (1.5), т. е. условию перманентно­ сти материи. Соотношение (1.5) достаточно для форму­ лировки условий непрерывности материи, откуда сле­ дует, что в теориях поля, подчиняющихся уравнениям непрерывности, аксиома перманентности материи имеет основополагающее значение.

§ 3. Движение

Движение непрерывной среды (деформация упругих и пластических тел, течение жидкостей, газов и т. п.) математически описывается непрерывным преобразова­ нием терхмерного эвклидова пространства в самое себя. Если движение описывается в прямоугольной де­ картовой системе, то прямое

преобразования являются движениями, если действи­ тельный параметр t в интервале

соответствует астрономическому времени. При исследо­ вании любого реального движения начальный момент времени t = 0 выбирается произвольно. С другой сто­ роны, преобразование (1.6), описывающее движение, при фиксированном времени t' — С представляет собой деформацию типа (1.2). Таким образом, движение есть однопараметрическое семейство деформаций (парамет­ ром является время).

Сформулируем теперь аксиому непрерывности в от­ ношении времени: Любое преобразование, описывающее движение, имеет непрерывные частные производные по времени сколь угодно высокого порядка [1].

Практически достаточно, чтобы преобразование (1.6) имело непрерывные производные по времени до треть­ его порядка, потому что это условие, хотя оно и яв­ ляется более слабым, чем аксиома непрерывности, обес­ печивает существование и непрерывность функций, опи­ сывающих ускорения, т. е. основные величины динамики.

■Из аксиомы непрерывности следует, что при движении непре­ рывной среды область всегда переходит в область, поверхность в поверхность, а кривая в кривую. Другое следствие аксиомы не­ прерывности состоит в том, что если материя, заключенная в бес­ конечно малом элементе объема непрерывной среды, рассматри­ вается как «частица»1), то отдельные «частицы», участвующие в движении согласно (1.6), всегда остаются отдельными и сохраняют свою индивидуальность. Очевидно, что аксиома непрерывности ис­ ключает все физически нереальные движения (патологические дви­ жения). Однако известно, что одновременно с исключением физи­ чески нереальных движений из теории поля, подчиняющейся аксио­ ме непрерывности, исключаются и многие реальные физические движения, такие, например, как столкновение, сжатие, качение, скольжение, удар и т. д. Вообще говоря, описание движения изо­ лированных сингулярностей (точек, кривых и поверхностей) не входит в задачу теорий поля, опирающихся на гипотезы непрерыв­ ности. В тех случаях, когда сингулярности не изолированы (напри­ мер, если они не связаны строгим образом с определенными точ­ ками, кривыми, поверхностями или моментами времени), а принад­ лежат к так называемым «сглаженным моделям», то основные

*) Фиктивную «частицу» классической теории поля не следует отождествлять с частицами корпускулярных теорий, например мо­ лекулами, ионами, атомами, элементарными частицами.

2 Зак. 787

гак называемых «не непрерывных» (разрывных) моделей систем, со­ стоящих из гомогенных подсистем, получаются как предельный слу­ чай из фундаментальных уравнений теории поля ‘).

§4. Материальное и пространственное описание

Вклассической теории поля для описания кинема­ тики сплошных сред используются два метода, восходя­ щие к применяемым в гидродинамике методам Лагран­ жа и Эйлера. Описание Лагранжа ближе к методам механики точки, в то время как для теории поля более удобен метод Эйлера. Чтобы лучше понять разницу ме­ жду двумя способами описания, условимся, что:

1) координаты Хи Х2, Х3 вектора R относятся к ма­

эвклидова пространства, непрерывно заполненного ма­ терией.

Согласно уравнению движения (1.6а), координаты Хи Х2, Х3, связанные с выбранной «частицей» в произ­ вольный момент времени t, не изменяются во времени. Таким образом, «частица» представлена тройкой коор­ динат Хи Х2, Х3, т. е. координаты Хі, Х2, Х3 можно рас­ сматривать как «имя», определяющее «частицу». Поло­ жение в пространстве «частицы», заданной «именем» Хі, Х2, Х3 (или R) в любой момент времени t, согласно (1.6а), определяется вектором г. Короче говоря, зани­ маемые «частицей» R с течением времени места опреде­ ляются уравнением движения (1.6а), а следовательно, путь «частицы» получается из него, если R — константа. Точно так же обратное преобразование (1.66) показы­ вает, какая «частица» R находится в точке г простран­ ства в момент времени t. Задавая различные значения тройки координат Хі, Х2, Х3 в определенный момент вре­ мени t', при помощи преобразования (1.6а) находим по­ ложения различных «частиц» в определенный момент времени.

Методы Эйлера и Лагранжа отличаются друг от дру­ га переменными, которые рассматриваются как основ­

') См., например, для случая термодинамики отличную моно' графию де Гроота и Мазура [3).

ные и независимые при описании действительного дви­ жения.

В описаниях типа Лагранжа основными независи­ мыми переменными считаются R или {Хь Х2, Х3} и вре­ мя t. В этом случае для динамической характеристики движения отдельных «частиц» используется уравнение движения из динамики материальных точек. Это мате­ риальное описание (его часто называют также субстан­ циональным), поскольку в этом случае система отсчета движется вместе с континуумом.

В описаниях типа Эйлера основными и независимыми считаются переменные г или {хи х2, х3} и время t. В этом случае движение континуума определяется относительно системы координат, фиксированной в пространстве. Та­ кое описание часто называют пространственным, потому что таким образом часто задаются поля скоростей и ускорений движущегося континуума.

Определим скорость «частицы» R в эвклидовом про­ странстве. Поскольку вектор R должен быть постоян­ ным во время движения (1.6а), скорость выбранной «частицы» определяется частной производной г по вре­ мени. Таким образом, по определению,

есть скорость «частицы» R, и соответственно из (1.6а) получаем

Вообще говоря, скорость «частицы» R является функ­ цией времени. Следовательно, понятие скорости отно­ сится к «частице», и поэтому для определения скорости (1.8) требуется прежде всего описание Лагранжа (ма­ териальное) .

Пространственное описание получим, исключив R из (1.9) при помощи обратного преобразования (1.66):

В соответствии с этим соотношением скорость в данной точке оказывается функцией времени. Следовательно, эйлерово поле скоростей движущегося континуума пред­ ставляется в виде (1.10).

2*

36 Глава I

В теории поля часто бывает необходимо получить со­ отношение между материальными и пространственными описаниями. Это означает, что необходимо разработать способы, позволяющие объединить оба метода так, что­ бы появилась возможность следить за движением от­ дельных «частиц» непрерывной среды и в то же самое время описывать изменение поля скоростей. Ниже будут приведены (в элементарном виде) уравнения, связываю­ щие оба описания *).

Допустим, что каждой точке континуума отвечают в качестве постоянных параметров определенные скаляр­ ные, векторные и тензорные величины. Эти величины являются функциями пространственных координат и вре­ мени: к ним относятся, например, плотность вещества р= р (r,t), плотность электрического заряда ре= р e(r,t),

величины, являющиеся с математической точки зрения функциями пространственных координат и времени, на­ зываются полевыми величинами. Пусть А — скаляр, со­ ответствующий полевой величине произвольного тензор­ ного ранга (т. е. А может быть скаляром или компонен­ той вектора или тензора произвольного ранга). Проана­ лизируем изменение этой величины во времени в мате­ риальном и пространственном описаниях. Дифференци­ руя по времени функции

относящиеся к двум описаниям, и учитывая уравнения движения (1.6), получаем следующие выражения:

для интерпретации которых рассмотрим частный случай.

‘) При строгом и общем рассмотрении теории поля необходимо использовать теорию двойных тензорных полей, которую здесь мы опускаем; см. [1, стр. 337].