Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Как уже говорилось выше, координаты Хі, Х2, Х3 за­ даны в системе отсчета, которая движется вместе с «ча­ стицей». Поскольку в такой системе отсчета положение

действии оператора D/Dt и имеющая указанный смысл,

называется материальной, или субстанциональной, проueeoâuoü по времени. Легко видеть, что изменение лю­ бой полевой величины в системе координат, которая движется вместе с «частицей», описывается субстанцио­ нальной производной по времени. Если в (1.13а) под величиной А подразумеваются компоненты вектора г, мы получаем как раз скорость ѵ «частицы», определен­ ную соотношением (1.8). Однако «частица» классиче­ ской теории поля, находящаяся в г, есть элемент массы, центр которого совпадает с концом вектора г. Соответ­ ственно можно также сказать, что скорость ѵ «частицы» есть скорость центра масс элемента массы. Соотношение (1.1За) показывает также, что в системе координат Хи Х2, Х3, связанных с «частицей», полная производная по времени полевой величины А совпадает с субстанцио­ нальной производной по времени.

Проанализируем соотношение (1.136), которое соот­ ветствует пространственному описанию. Из него и из (1.8) получаем полное изменение в единицу времени по­ левой величины А в случае пространственного описания:

Таким образом, это изменение равно сумме локального изменения (dA/ât)r в точке г и конвективного измене­ ния V • \ А , связанного с перемещениемэлемента массы, находящегося в данной точке пространства, со скоростью

центра массы ѵ. Это соотношение показывает, что част­ ная (локальная) производная по времени, взятая в точ­ ке г, равна полному изменению по времени полевой ве­ личины А, если центр массы «частицы», находящейся в конце вектора г, покоится по отношению к системе ко­ ординат Хі, хг, х3, фиксированной в пространстве. Срав­ нивая (1.14) с (1.136), получаем, что в общем случае полное изменение во времени любой полевой величины можно вычислить с помощью операторного уравнения

если под оператором d/dt понимать субстанциональную производную по времени. Следует заметить, что некото­ рые авторы (см., например, [4]) предпочитают использо­ вать символ D/Dt для обозначения субстанциональной производной, подчеркивая таким образом, что выраже­ ние (1.136) часто в общем случае несправедливо. По­ скольку при принятых нами условиях d/dt — D/Dt, в дальнейшем для обозначения субстанциональной произ­ водной мы будем использовать оператор d/dt. Иногда субстанциональная производная отдельной величины бу­ дет обозначаться точкой над символом величины, напри­ мер А = dA/dt.

Рассмотрим некоторые часто используемые понятия, которые вытекают из приведенных общих уравнений и относятся к наиболее важным частным случаем. Точка,

называется точкой покоя поля. Если поле скоростей не зависит от времени, вместо (1.10) имеем

т. е. получается поле скоростей, постоянное во времени. Движение, которое характеризуется таким полем скоро­ стей, называется устойчивым. Понятие устойчивого дви­ жения, определенное соотношением (1.17), не следует путать с понятием стационарного движения, которое мы поясним в дальнейшем. Оно имеет глубокий и много­ образный смысл, особенно в термодинамике (см. гл. V).

Понятие об устойчивом движении можно обобщить и применять не только к полю скоростей, но и к любой величине А. Следовательно, если

то можно сказать, что поле величины А устойчиво. Дру­ гие часто используемые понятия можно представить как частные случаи соотношения (1.14). По определению, а) любая полевая величина называется субстанцио­

нальной постоянной, если

т. е. если полевая величина А в системе координат Ху, Xz, Х3, связанных с «частицей», не зависит от времени; б) полевая величина называется локальной постоян­

ной, если

1 Г = 0, (1.20)

т. е. если полевая величина А постоянна в точке г си­ стемы координат Ху, х%, х3, связанных с пространством:

поле здесь стационарно-,

в) полевая величина называется конвекционной по­

§5. Уравнение непрерывности материи и массы

Вклассической теории поля мы не принимаем во внимание дискретность молекул или атомов и считаем, что материя в эвклидовом пространстве распределена непрерывно, а масса рассматривается как наиболее су­ щественная ее характеристика. Массу любого тела все­ гда можно охарактеризовать действительным положи­ тельным числом, которое есть мера инерции, гравита* ции и количества вещества, заключенных в этом теле.

Рассмотрение массы как меры количества вещества в случае континуумов означает математически, что

масса М есть абсолютно непрерывная функция объема V [1].

Такое определение массы подразумевает также, что масса «тела» с нулевым объемом равна нулю, а также то, что масса системы равна сумме масс входящих в нее тел. Следует заметить, что термодинамические величи­ ны, обладающие, подобно массе, аддитивными свойства­ ми, называются экстенсивными величинами.

Дадим теперь интерпретацию наиболее простой по­

конечен, то полевая величина р = р(г, () представляет собой плотность массы континуума в точке г в момент і. Если функция плотности р известна, то общая масса тела конечного объема V дается интегралом от плотно­ сти по объему в произвольный момент времени t:

из частиц корпускулярных теорий (молекулы, ионы, атомы, элемен­ тарные частицы). С точки зрения корпускулярных теорий элемент объема dV есть так называемый «макродифференциал», т. е. эта

частиц, так что можно пренебречь их индивидуальным движением. Эта идея правильна, однако мы должны обратить внимание на то,

теории поля можно вывести из основных уравнений корпускуляр­ ных теорий, относящихся к материальным точкам. Это положение неверно не только потому, что подобные выводы большей частью недостаточно обоснованы, но главным образом потому, что они

утверждают, будто теории поля (часто называемые феноменологи­ ческими, хотя эти две теории не тождественны) подчинены корпу­ скулярным теориям и играют лишь второстепенную роль. Хотя эта точка зрения опровергается широким распространением практиче­

только в случае систем макроскопического размера), подобные вво­ дящие в заблуждение утверждения, к сожалению, встречаются до­ вольно часто, особенно в термодинамике. Следует иметь в виду, что соотношения между теорией поля, опирающейся на аксиому непрерывности, и корпускулярными теориями значительно сложнее, чем обычно принято считать. В настоящее время основную труд­ ность создает противоречие между теорией поля и корпускуляр­ ными моделями. Это выражается в том, что поле бесконечно де­ лимо, а частица нет.

Соотношения (1.22) и (1.23) справедливы в любой момент времени. Следовательно, они справедливы и в заданный начальный момент t — to, когда плотность, которая определяется объемом dV и находящейся в нем массой dM, равна ро = ро(лМ - Если необходимо за­ дать условие сохранения массы в определенном интер­ вале времени t — 10 при деформации dV-*dV*, происхо­ дящей вследствие движения континуума, то для этого нужно знать р = p(r, t) как функцию времени і. Сохра­ нение массы при деформации элемента массы, о кото­ ром идет речь, выражается, согласно (1.22), условием

для деформации dV-^dV*. Используя соотношение

Это уравнение называется материальным (лагранже-

вым) уравнением непрерывности. Пространственная

(эйлерова) форма уравнения непрерывности будет по­ лучена в следующей главе. Там же будет доказана эквивалентность обоих уравнений.

В заключение приведем условие сохранения массы для всего континуума, который при движении, вы­ зывающем деформацию V -> V*, всегда содержит одну и ту же массу. Интегральное уравнение получается

42 Глава I

интегрированием (1.24) по соответствующим объемам; следовательно,

§6. Многокомпонентные континуумы

Сточки зрения химии большой интерес представляет изучение континуумов, которые содержат несколько различных в химическом отношении компонентов. При описании систем, содержащих реагирующие компонен­ ты, необходимо учитывать различные диффузионные явления, поэтому необходимо дополнить теорию хими­ ческих реакций, распространив теорию однокомпонент­ ного континуума на случай многокомпонентных конти­ нуумов.

Всвязи с этим рассмотрим общий случай, когда пол­ ная масса М, непрерывно распределенная в некоторой конечной области пространства V, есть сумма масс хи­ мических компонентов, количество которых равно К. Тогда

элементов массы), присутствующих в любой внутренней точке континуума, подвергаются индивидуальным де­ формациям и совершают индивидуальные движения.

Следовательно, непрерывную систему необходимо те­ перь рассматривать как локальную суперпозицию К не­ прерывных сред. Согласно этому положению, плотность