Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

не зависят от пространственных координат). Опублико­ ванные Онсагером и Махлупом [51] и Тицой и Маннин­ гом [52] работы, опирающиеся на теорию стохастических процессов, также относились к частному случаю пред­ ставления через потоки. Теперь докажем в общем виде утверждение, приводившееся в целом ряде работ [I, 55, 56, 65, 79, 80, 98] и заключающееся в следующем: урав­ нения переноса нельзя вывести из представления через потоки (Б.1), по крайней мере не используя каких-либо дополнительных условий.

Действительно, переписывая (Б. 1) с учетом (4.1), получаем

«внутренние параметры» плотностей потоков, т. е. пара­ метры состояния, из которых плотности потоков можно получить при помощи простых операций. Таким образом в (Б. 1) и (Б. 4) мы не можем перейти от вариации по потокам к вариации по соответствующим «внутренним параметрам».

Иначе обстоит дело в случае представления через силы (Б. 2), поскольку силы X; определяются согласно (6.41) «внутренними параметрами» Г,. Поэтому уравне­ ния переноса можно получить из универсальной формы (А. 1). Точнее говоря, вывод уравнений переноса из (А. 1) обеспечивается одной только парциальной фор­ мой (Б. 2), т. е. представлением через силы, включен­

Парциальный принцип, относящийся к представле­ нию через силы, принимает особенно простой вид, когда рассматриваются «чистые» процессы рассеяния и «не­ свободные граничные условия». Тогда из универсального выражения (4.72) имеем для частного случая

(Б .10)

V

Этого выражения, однако, достаточно для вывода урав­ нений Фурье, Фика и т. д. и дифференциальных уравне­ ний, описывающих термодиффузию [I, 55—58, 66, 85, 98]. Конечно, вариационную задачу ( Б .10) следует рассма­ тривать с парциальными ограничениями (Б. 6), что со­ ответствует духу представления через силы. В этом слу­ чае в соответствии с соотношением (6.122) имеем

пп

обобщенное уравнение Навье — Стокса и, более того, полную систему уравнений переноса для однокомпонентной термогидродинамической системы. Вообще говоря, хорошо известные формы линейных уравнений переноса

[I, 98]. Отсюда и из последующих рассуждений с очевид­ ностью следует, что в случае линейных конститутивных

что в первом случае ограничения, выражаемые уравне­

Это, разумеется, означает, что независимо от того, в ка­ кой форме взят интегральный принцип термодинамики, управляющий процессами рассеяния — в универсальной или в частной, он является ограниченным вариационным принципом. Следует, однако, снова подчеркнуть, что рассмотрение уравнений баланса как условий, допол­ няющих вариационные принципы, не означает введе­ ние дополнительных ограничений, поскольку уравнения баланса априори являются отправным пунктом теории. Более того, рассмотрение различных типов уравнений баланса для электромагнитных, термических и механиче­ ских свойств показывает, что в реальных случаях инте­ гральный принцип термодинамики справедлив во всех трех классических разделах физики, по крайней мере, если говорить о процессах рассеяния. Соответственно наиболее правильно будет назвать этот принцип «основ­ ным принципом для процессов рассеяния», поскольку для необратимых процессов он справедлив всегда.

В пользу такого названия говорит также и то, что в выражения для лагранжианов [например, в (А.1) и (А.18)] входят не только потенциалы рассеяния. Таким образом, очевидно, неверно называть приведенный выше принцип принципом «наименьшего рассеяния энергии». До некоторой-степени правильно сохранить традицион­ ное название для частной формы [I, 60, 98]

которая следует из (А. 1 ) для стационарного случая с постоянными граничными условиями и которая записы­ вается только через потенциалы рассеяния. Справедли­ во и то, что используемые нами величины ф и q> не имеют размерности рассеяния энергии, поскольку они даны в «энтропийном представлении»; их размерность совпа­ дает с размерностью производства энтропии. Более того, в некоторых случаях можно использовать иные пред­ ставления, в которых размерности потенциалов рассея­ ния произвольны (см. [I, 55, 56, 58, 98] и особенно [85]). Однако, с другой стороны, для справедливого в ста­ ционарном случае принципа (Б .12) и его парциальной