Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

)=С,

•-P)s

°1Ъ^ - ьо6

P U ) - q

\>Н- О - р У - • в , Ъ 4,-(1-в.‘Ь>*=-0,0X8 .

Событие

&

-

в

пяти

опытах

произошло четное

число раз .

£)-$+К -»-Л 1

.

Следовательно, jD (iP )^p(& + K + iM .)-

= - р№ ) + р 1К ) ^ р ( ^ ) - 0,У0Ч

3 .

Событие

Б

наступает

в том случае, если

событие f t

бытия

&

, если

вероятность

события

чЛ

при каждом опыте равна

0 ,3

и произведено

5

опытов.

Р е ш е н и е .

Искомая

вероятность

равна:

' к ь ) = y i s w i 4 i ? ; + ? . . 4^ i p / - C y о л Ч ‘ '^ ^ ) 1+ С - о ,5 М » 'вл У +

ttf о.ьЧ1'0»*)6-

4.

В

студии телевидения имеются

3 телевизионных

камеры. Д

каждой камеры вероятность того , что она

включена, равна 0, 6 .

Най­

ти

вероятность

того ,

что в данный момент

включена хотя бы одна

камера.

Р е ш е н и е .

Опыт - проверка включения камеры. Число опы­

тов

rv

»

3 . В результате одного

опыта

возможны

события:

f t

- ка

мера включена, * JF

- камера

не

включена

О, Ь уMvA) -ty-0,4

Требуется

найти

у

ъ

( вероятность

то го , что в

3-х

опытах

событие

f t

наступит

число раз

)<

5. Чему равна вероятность того, что при бросании грех играль­

ных костей,

6 очков

появится хотя бы на одной из

них?

Р е ш е н и е .

Опыт -

бросание

кости,

число

опытов п, « 3 .

В

результате одного опыта возможны события: Д

-

выпало

6

очков,

<Л

- выпало

не б

очков,

^

<v~ JL ,

Искомая

вероятность

о с , г о / 1_\° (_£ЛЬ- Л

6. Вероятность хотя бы одного появления

события

Д

при

че­

тырех опытах равна 0,59 . Найти вероятность появления события

А

при одно?л опыте.

Р е ш е н и е ,

$> * * ^ - ь ? • - . 1 4 : р° о - Рг °-- w o - р Г .

Известно, что

- 0 ^ 3

.

Требуется

найти

р .

Имеем уравнение:

( - ( i - p ) 1

« 0 , 5 9 .

Решая уравнение,

находим

р

*

0,2

7.

Из ящика, в

котором

20

белых

и 2 черных

шара у к,

раз

извле­

кают шары по одному с возвращением назад. Определить наименьшее

число извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один раз

черный шар не менее

.

Р е ш е н и е .

Извлечение

шара - опыт.

Сделано

Уъ

извлечений

УЪопытов.

В результате

одного

опыта возможны

события.

Д -

и з-

влечен черный шар

Л

-

~

» Д

-

извлечен

белый шар ;

р ~ т г

ML

И

Вероятность того , что при

Уъ

извлечениях черный

шар будет

из-

влечен хотя

бы один раз,

равна:

У ^

»

По условию

3 ^

У/

?

.

о

t-

л

.

*

Получаем уравнение \ -Сн р

Jt

£ *

Из

этого уравнения

находим

п^7/1 . “

искомое

число

извлечений,

ной детали будет не

менее 0, 8,

если вероятность

того,

что любая

деталь

бракованная, равна 0,01?

Р е ш е н и е .

Изготовление

детали

- опыт.

Число

опытов гь

равно числу деталей. В результате одного опыта возможны события:

•<Л

-

деталь

бракованная

Ь - 0,01,

* •

Л

-

деталь

не бракованная

C^-0j9S.

Вероятность того, что из

Иу

деталей хотя

бы' одна бракованная^

равна:

.<1-0

По условию

7 / 0»«

.

Отсюда имеем: |-(,i-0,ot)

0,33^0,0.

Решая уравнение.находиц Уъ:

■ v t y > , s 3 ^ o , i

Таково необходимое количество деталей. Поскольку за один цикл

изготовляется

10 деталей, то

необходимо

не менее 16 циклов.

9 .

Партия

содержит

I

% брака.

{Саков должен

быть объем случ

изделие была не

менее

0,95

?

• Р е ш е н и е .

На. проверку берут

v\j

изделий ( производят iru

опытов).

В результате

каждого опыта возможны события: vA

- изделие

браковаинол , Л

-

изделие

доброкачественное.

f U O = p - o , o i

,

су =.0, 9 3 .

Если

Vn -

чисдо

бракованных ив,делий

в выборке, то

данная в уел

вии вероятность

есть

у ^*,

- |---ji .

с . . ® . Л .

• ilu eeu tl-t^ oi-O ,^ 7f°|S5.

Получили

уравнение,

в котором неизвестной

является искомая величи-

.

-W A 05

7/ Ъ9 (о.

П/^ 1

10,

Два стрелка

производят

по 4 выстрела, причем каждый стре­

ляет по своей мишени *

Вероятности попадания при

каждом

выстреле

для

обоих

стрелков

одинаковы

и равны

0, 5 .

Найти

Bjpоятность

то го ,

что

у них будет по одйнаковому

числу

попаданий.

Р е ш е н и е .

События

и Jf, -

попадание

и промах

перво­

го

стрелка, события

J^

и

- попадание и промах второго стрел­

ка.

По условию |э, «

«0,5,

C^t =

о ,5. Вероятность

того,ч то

при

четырех выстрелах

будет

Yf)

попаданий, одинакова для

обоих

стрелков

и равна:

„4 -т

0,6

Вероятность того, что оба

стрелка будут

иметь

по

m

попада­

ний, определяется согласно правилу умножения вероятностей, незави­

симых событий,

как

!

р

^

*

. По условию задачи безраз­

лично, сколько произойдет попаданий. Необходимо лишь равенство

числа попаданий для обоих стрелков.

Поэтому

число

возможно лю­

бое

от 0 до 4 и искомая вероятность

найдетоя

как вероятность сум­

мы

несовместных

ообытий:

I I .

Оптовая база снабжает

10 магазинов, от каждого из которых

может поступить заявка на очередной

день с вероятностью 0, 4 .

Найти

наивероятнейшее число заявок в день

и вероятность поступления

это­

го числа заявок.

Р е ш е н и е .

Опыт - проверка

наличия заявки от магазина.

Число опытов

Уь *

10. В результате

одного опыта возможны события: