Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

если четвертый объявил информацию, полученную первым,

правильно ?

Р е

ш е

н и е .

Гипотезы:

И,

-

первый

человек

сказал правду,

•

первый

солгал.

Их вероятности

по условию р(И^ - у

•

Событие Л - четвертый объявил

информацию, полученную первым,

верно. Событие lH может наступить

лишь только совместно с одной

из указанных выше гипотез. По Формуле полной вероятности:

р^) - р( ri,). р^JV/ й.) ♦р(н?-) Р

/« \)■

Найдем условные вероятности

р(*Д/Н.)

я ptJtyH/J)

• Здесь: пе­

редача информации - опыт, число

опытов уг

- 4, в результате

одно­

го опыта возможны события:

0>

-

полученная

информация

передана

верно,

b (

t b

) -

p . 6

-

полученная информация

передана

невер-

но,

Событие

Jk

наступит

при

выполнении, гипотезы

Н

, если

из

либо все передают верно, следовательно,

есть

вероят­

ность

того , что

в трех опытах событие 0?

наступит

либо

1 раз, ли­

бо 3

раза;

PU|h,i

Цзф 1т ) 1’"гС> ( т ! 1т )

- ^

Событие

наступит при выполнении

гипотезы

,

если из

бо все передают неверно. Следовательно,p(J3-/К.^)

е с ть

вероятность

того, что в трех опытах событие 0> наступит либо

2,

либо О раз.

Искомая вероятность есть вероятность

гипотезы

Н| . которую

находим по формуле Бейеса;

ы н / л ) -----------------

П ,Ь 1 ' {Н*.) р ^ | к ,) + р 1Н0 р (Л / « 0

Hl '

ные величины обозначаются прописными буквами, их варианты

- строч­

ными*

Пример

I* Случайная величина

X

- число очков,

выпавшее

при

бросании игральной кости, её варианты:

Xt *= I . . .

6.

Пример

2. Б интервале (х,( з)

оси

абсцисс ( рис

2 r I .I

)

науда­

чу

брошена

точка. Её абсцисса

- случайная величина X

с

бесконеч­

но

большим

числом вариантов,

которые непрерывно заполняют

весь ин­

тервал.

О *

*

» ос.

....... . ■■

IV

4

X ,

о « • * » • л *

Х> А-

к *

о

<Ш

А '«»

Случайная

величина обязательн о примет

какой -ли бо

один

вариант.

Следовательно, несовместные

события

образую т

полную группу

Отсюда:

С- Л

( ч2. i , L)

^ р

i*}

I

СЧ

Сумма

вероятностей

всех

возможных

значений

случайной величины

Пусть

X

непрерывная или дискретная случайная величина,

X -

любое

действительное

число.

Интегральной функцией распределения случайной величины в неко­

торой

точке X

называется

вер оя тн ость

того'* ч то

случайная

величина

примет

значение

меньше

этой

точки

х ,

О бозначается интегральная функция

распределения P W - j p l X s ^ ) .

(

В дальнейшем тексте

интегральная функция

распределения

сл у ­

чайной

величины иногда

назы вается

для

краткости

функцией

р а сп р ед е ­

ления

) 0

• ( ъ . / Х х )

,

где

,

а именно р { £ ( ч К <ч^ i )

----------------------------

-------------

-------------------------

—л

- ...........

- , - » .

.— ■

------------------------ ----------------- — * X

0

1Cs

- “v”—

X JL

^ ------

—^

Событие, состоящее в том, что X ^

состоит в наступлении

события,

что

Х < * . ,

или события, что х»^

Следовательно,

событие (

есть

сумма двух

остальных ;

В первом пункте

было показано, что

при

Х г7

K * i$ X < * iV -r 4 * iV T l* .V

но

К * 1^ Д < Х 0 >/О

,

следовательно:

7,0° Отсюда

f(% ,)

при х ^ х ,

. Значит

(функция распределения является неубывающей Функцией.

^ Р ^ Х Л ^ 0 0 ) М

(

вероятность

достоверного

события

\

-О

(

вероятность

невозможного

события

),

Запись

f ( * o o )

и

F (-o o )

- условная

запись

следующих двух

равенств:

I

и

Х.-1-ОО

-Q

Получили второе свойство Функции распределения - функция рас­

пределения случайной

величины

есть функция

неотрицательная, иеубы-

вающая,

изменяющаяся в пределах от

0 до

I

0 <чР(х)^1

О'

5 Рассмотрим графики функции распределения,

а) для дискретной случайной величины.

Пусть К

-

дискретная случайная величина

определена рядом рас­

пределения.

i

п

|

%>

•«»

• *

х , ..

’ч

. .1 1

|

| Pi

Ра.

. . . .

Р1 .. . рп,

На оси абсцисс откладываем возможные значения случайной величи­

ны, а на

оси

ординат -

функцию F (*} .

При

%<ч*ч (4*0

-О }

при

К ,< 0с<чХг

- р*,

при

Р ( % ) Х < О с ) - р ^ р Ху

при

oc,u< ,x ^ x 64t

Р (.% )-р (Д < х )~ p

t -

t

t p x ^

'

при

% * л х

ГЧх)

- \0[ Y.

„

Графики

функции распределения

дискретной

случайной

величины

абсцисс, можно рассматривать как

предел бесконечно малого интерва­

ла а х

»

содержащего эту

точку.

Следовательно, вероятность для

случайной

величины

принять

значение X* есть

предел вероятности по­

падания

случайной

величины

в интервал (Х*

А Ъ ).