Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

пулей.

Вероятности

попадания для

охотников

соответственно

равны:

г

ОД

0 ,4

и 0 ,8» Найти вероятность

того ,

что

попал первый

охотник*

Р е ш е н и е ,

Гипотезы:

Н,

- первый охотник попал в медведя,

первый

охотник

промахнулся.

Вероятности гипотез

рСНД » 0 Д ,

Ж

У

0 ,9 .

Событие

-

медведь

убит

одной

пулей.

Вероятность

нахо­

дим как вероятность

произведения

двух событий: второй промахнулся

и третий

промахнулся

р{ A jti,)

= 0 ,6 • 0,2 «

0 ,1 2 . Вероятность

Р\'Л/Мь) находим как вероятность

суммы двух

событий.

1Ьх - второй

попал в медведя, а третий

промахнулся,

|}^

- второй промахнулся,

а третий

попал.

о д + о ^ л г - о , ^ .

Вероятность гипотезы

Hi

после выстрелов находим по

формуле

Вейеса:

m u

|ДУ-__ _______

-----------------------------------------------------------------

Г 0,02-Ъ

того,

что

первый выстрел сделал первый стрелок.

?

е

ш е

н и е . Гипотезы:

И, - первый вы спел

сделал первый

стрелок.

-

пепвый выстрел

сделал 2-ой стрелок,

обе гипотезы

равновероятны,

следовательно:

р | И ,)гр (К г)

*

Событие

А

-

первое попадание

зафиксировано

ка пятом выстреле.

_____Р1НЛ Р1<А/ИЛ

,5.

р 1н ,у и Л 1н,)+рСИО-К<А-|нО

и

6.

Имеются две партии деталей. В первой все хорошие, во втор

Р е ш е н и е . Гипотезы:

Ht

-первая

деталь взята из первой пар

тии,

-

из второй

партии.

Обе

гипотезы

равновероятны,

поэтому

р 1 н ,)=

р Ю

=

.

Событие

(Л

первая

деталь

оказалась хорошей,

i .

рЦ И и-З

=

.

Вторая

деталь может

быть бракованной,

если

извлечение

происходит

из .второй

партии.

По формуле

Бейеса:

т ш т л

X , А

_ъ

"

X

__ X

ъ

1 I

, I

~ 1

К и .у р 1Л-|и1) + р 1н а) р И н О

%’ *+ % н

*

7.

Получена партия из восьми изделий одного

образца. По данным

проверки Четырех

изделий^ три

из

них

оказались исправными, а одно

бракованным. Найти вероятность того, что при проверке трех после­

дующих изделий одно из них окажется исправным, а два

других

- бра­

кованными. Любое количество бракованных изделий в данной партии

равновозмокно.

Р е ш е н и е .

Гипотезы

Нс

,

Н, , Ht , . . .

Hj

-

число бра­

кованных изделий в партии соответственно равно: О, I ,

2, . . . 8. Ги­

потезы равновероятны, поэтому р(Нс) «

р(,И,)

. . .

= т-

. Событие

JI-

- при

проверке

четырех изделий

3

из

них

окаэа

з

исправными,

а

одно -

бракованным.

лись

Условные

вероятности

p(JtyHft)

Г

где

К

»

0 ,1 ,2 ...8 .

9

Отсюда:

С

ри/и.)-о,

pt^/ИЛ'-х

, PWWlO-f

.

как при проверке первых четырех

изделий 3 оказались

исправными, а

I - бракованным, а при проверке последующих трех I оказалось неправ­

дам, а 2 - бракованными, то это

возможно, если число

бракованных

изделий в партии равно 3 или 4.

Следовательно,

событие

&

может наступить лишь совместно с

гипотезами JULJbrt*, или

• Искомая вероятность есть

полная вероятность

события

&

:

S

p i f t i - p l M ) p № / j u ) + p U ) p l& M ) ' 1

Pi b / д ) - р

и

ь

п - ч

'«I»

ч

Вероятности

гипотез {М. и

*л/

есть

вероятности гийотез И и

Нц после того, как произошло

событие

» и находятся, следова­

тельно,

по формуле Бейеса:

p U ) - P ( H 4j ^ ) i O , a T .

риЬ ) -

о д ъ 8-^

-

8.

Для

сигнализации

о том,

что

режим работы автоматической

жащий

с вероятностями 0 ,2 ,

0 ,3 ,

0 ,5

к одному

из трех типов. Вероят­

ности

срабатывания

для

этих

типов соответственно равны

1 ,0 , 0,75 и

О>4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего

относится

индикатор?

Р е ш е н и е .

Гипотезы

Н(

- индикатор

относится

к первому

типу,

- ко

второму

типу,

H>j

— к

третьему

типу. Согласно уело-

вис задачи р(Н .) =

о . 2,

р (Н ^

= 0 ,3 ,

- 0 ,5 .

Событие Jr

-

индикатор

сработал. Согласно условию задачи

« 1 , 0 ,

P lifl/H j) «

0 ,7 5 ,

pivityl-Ц) «

0 ,4 . По формуле Бейе­

са

мовем

найти

p f4H ,/j1)

.

p (H t /vA)

и

р (И ,,/Д )

• Но в

задаче это не требуется. Надо лишь найти, какая из указанных ве­

личин будет наибольшей. Для

всех

трех случаев

знаменатели

в пра­

вой

части

формулы Бейеса

одинаковы.

Поэтому

необходимо сравнить^

между собой только числители. Имеем;

Р1Й»)‘р(*Л7Н() -

0,2,0 }

Р ( Ч У р ( Л / н о - о » и * ,

о д о -

’I

Видим, что

наибольшее

значение

имеет

вероятность

Р (Н ^ /^ )

т .е .

наиболее вероятно,

что

индикатор относится ко второму

типу.

Р е ш е н и е ,

а)

Имеются

10 цифр, из них 4 берутся для номе­

ра машины. Взятие цифры-опыт, число опытов fu * 4, в результате

одного

опыта возможны

события:

Л - взятой оказалась

цифра 5,

.

-

не

цифра

5,

их

вероятности

■ p U ) a V>

)

Требуется найти вероятность того, что событие

Л

в этих

четы­

рех

опытах

наступит

G раз

,

т - 0 ;

=o,ts6 .

б ) Аналогично: взятие цифры-опыт, Yb • 4 ,в результате одного

опыта рассмотрим события: В

-

взята цифра 3 9 Ъ -

не

цифра 3,

р ( М - р - Т о • P f e ) - ^ - »

•

Найти вероятность того, что в четырех опытах событие В

насту­

пит

число раз

0 ^

:

2. При каждом опыте

вероятность появления

события

Л

равна

0 ,3 .

Найти вероятность

того , что при пяти

опытах событие

произой­

дет четное число раз.

Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение

несовместные

события S)

1\ и

JLL . Они состоят

в

том,

что событие

Л

в пяти

опытах про­

изошло соответственно

0

раз,

2 раза * Ь раза. Их вероятности: