Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
во
i ,
— ^<Я1Я*Г>|ШГИ»**HJ
г
\
I
I
"£l
I |
|
|
I |
|
|
|
t |
|
i |
i |
|
|
|
c |
X, |
1 |
-&r |
|
|
|
Xb |
|
Л |
% »v |
X |
p u c . йл Xt
U J l
Ы X -x.U -tcm |
|
X. <*,-*&*) |
||
1 ' |
‘ |
йЪ -rd |
|
|
Ho так как |
X |
- непрерывная случайная величина по условию» |
||
то по определению -tern Р(Л,5 ^ |
^ Х,+аХ^-О. |
|||
|
Ил-По |
4 |
|
|
Отсюда: |
р( X -*v )-Q |
|
||
Вероятность зля непрерывной случайной величины принять любое опре
деленное |
значение |
равна |
0. |
|
|
Из этого |
следует * |
что в |
случае непрерывной случайной величины на |
||
графике функции распределения |
все скачки равны 0 , и разрывная сту |
||||
пенчатая ломаная становится непрерывной кривой. |
|
||||
График функции распределения непрерывной случайной величины есть |
|||||
непрерывная кривая (рис. |
2 Л . З ) 0 |
|
|||
Если |
случайная величина |
принимает значения з интервале (0 1 9 4 » |
|||
то график выгляди? так, |
как показано на рис. (2*1 , 3 а ) . ’ |
||||
На основании первого свойства |
функции распределения |
имеем |
|||
|
|
|
Эта |
вероятность может быть |
представлена |
ввиде суммы вероятностей двух несовместных событий:
р(*.,■<: Тлъг) - p(X -*.U
но , отсюда: - )? 1 к Л Х ^
Следовательно, для непрерывной случайной величины первое свойстве
может быть записано так: |
X |
{ ^»l) - |
“*1"(Рг0 к |
З а м е ч а н и е . |
|
|
|
Если событие невозможное, |
то |
его вероятность равна О ( см* |
|
начало курса). Из только что показанного следует, что обратное утверждение может быть неверным, т . е . если вероятность равна О,
то нельзя утверждать, что событие невозможно (для непрерывной случайной величины вероятность принять определенное значение равна О, однако это значение для случайной величины является возможным).
62
Ш» Плотность распределения случайной величины.
Пусть X. - непрерывная случайная величина, интегральная функ ция распределения которой К х ) .
Плотностью распределения называется предел, к которому стре
мится отношение вероятности попадания случайной величины в элемен
тарный |
интервал к длине этого интервала, когда последняя стремится |
к нулю. |
Она обозначается ^ х ) и равна производной от интегральной |
функции |
распределенияс Действительно, |
■ 4 W z i m |
А Х |
Г-Ч*) |
L |
|
|
Отсюда, |
f t X ^ x l i £ ) - |
у |
где - бесконечно малая величина. Умножая обе части последнего равенства на А Х и пренебрегая бесконечно малой высшего порядка,
получим:
! Н х < Х < х - г & х ) - Ч ( % ) й Э t .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в доста
точно малый интервал, примыкающий к точке % ( Х , Х * д Х ) , равна
произведению плотности распределения в этой точке на длину интерва ла ДОС . В е л и ч и н а н а з ы в а е т с я элементом вероятности или дифференциалом вероятности.
Свойства плотности распределения.
I . |
Функция'Ц.Х)не отрицательная» Это следует из того, что |
||||
^(Ос.) ” F*(x) » |
* производная |
неубывающей функции не отрицательна. |
|||
2» |
j |
. |
Я ей стви тел ьн о^ р ^ уА Х -К ^00) " ^ ^ ) - ^ 0 |
||
График0 |
плотности распределения |
( или кривая |
вероятностей ) |
||
представлен на рис. 2 .1 .4 . |
|
|
|
||
Геометрически второе |
свойство |
означает,что |
площадь под гра - |
||
63
фиком плотности распределения есть величина постоянная, равна еди нице.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Имеем непрерывную случайную |
величину |
X |
.функция распределе |
||||||||||
ния которой |
РС^) |
, |
а плотность |
распределения |
Ч (Л ) |
. Найдем |
|||||||
вероятность |
попадания |
случайной величины в |
заданный |
интервал |
|||||||||
( Х к)Ха), |
т . е . |
|
|
. |
Вычислим |
интеграл: |
|
|
|
||||
xi |
|
|
jH |
|
|
|
|
|
|
t<xi) |
|
||
| ч |
м |
« |
- J F 4 * - ) < U |
- Г |
' Ц = К * |
л У - К * . ) - 1Ч |
* Л |
, |
|||||
еледовательно: ЭДх д |
х |
- F |
" F Iх |
0 - |
] |
Ч W |
. |
||||||
Вероятность попадания непрерывной случайной* величины в заданный |
|||||||||||||
интервал равна приращению функции распределения |
на |
этом |
интервале, |
||||||||||
.иля интегралу от плотности распределения, взятому по данному ин |
|||||||||||||
тервалу о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрически она равна площади под графиком плотности распре |
|||||||||||||
деления |
на |
этом интервале |
(см 0 рис. 2 Л «Л ) . |
|
|
|
|
|
|||||
Найдем |
выражение |
функции распределения |
PV&) |
|
через плот |
||||||||
ность |
Ч № ) |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ра |
основании |
определения: И *,) - ] р |
( |
Х |
Л |
^ |
) . |
||||||
Используя формулу вероятности попадания непрерывной случайной ве
личины в заданный hhv'-'cb&ji, получим
X
F4 * ) s j4fcJt)(Ax. -оо
Для непрерывной случайной величины функция распределения в некоторой точке X, равна интегралу от плотности её распределе-
йия5взятому в пределах от - о о до этой точки Ос «
64
§ 2. Закон равномерной плотности.
Непрерывная случайная |
величина X |
называется |
равномерно рас |
|
пределенной |
в интервале |
, если ее |
плотность |
распределения |
задана так: |
С рис. 2. 2.1 ) : |
|
|
|
Здесь С сО
( ‘i [ X ) d x
-со*
|
О |
при |
.X Со |
|
|
|
с |
при |
и л х < 4 |
|
|
|
О |
при |
4 . |
|
|
- |
{постоянная величина. |
Её |
найдем из условия: |
||
|
- |
|
» получим: |
|
|
|
~\ |
|
/ * |
[ |
|
|
^ ОС |
^ |
|||
|
|
I |
|
o d x + J td x -v j о |
|
||
|
|
-оэ |
|
' 'Эй |
U> |
4 |
|
Из равенства |
|
находим |
^ ~ |
‘ |
|||
|
Значит |
плотность разномерно распределенной |
случайной величи |
||||
ны |
запишется: |
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 |
при |
X < со |
|
|
|
|
Vfloc) - < |
4-Х |
Лри |
0^ 4 |
|
|
|
|
^ |
о |
при |
|
|
|
|
|
При равномерной плотности вероятность попадания случайной ве |
||||||
личины в заданный интервал |
i^x, jX ^ |
f целиком расположенный в |
|||||
интервале ( и ,4 ) |
, |
зависит лишь от длины интервала и не зависит |
|||||
от |
его расположенияе |
Действительно, |
|
|
|||
*1 |
X, |
|
\ |
i |
|
Эта величина есть площадь прямоугольника с |
высотой |
||||
С - r j^ |
- ^ |
||||
а основанием; равным Х а -К ,- 4 |
„ Очевидно, |
ока не |
зависит |
о? того |
|
где расположен прямоугольник ( см. рис. |
) . |
|
|
||
Найдем интегральную функцию равномерно распределенной |
случай |
||||