Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
о•ЛА' Г
И
I
■CASOUCVj |
■5е*- %, |
*s |
66
|
0 |
И/1Э1Л, X < X |
F O ) |
1 |
‘ |
|
Cc<X< |
|
-ОЭ |
0 |
rt.jDu. X7 & . |
-As |
|
x |
-*» X/ |
"5Г |
~v- |
||
|
|
|
при |
X tc o F i x ) ; |
f (< lx)tA X - ) |
|
при |
Сс(Хч & |
” C0 |
x |
|р(х) - ( |
<Ux) |
||
при |
X |
Cu |
X7 I R * ) - - K * y A x - l 0- « |
||
Следовательно, |
• |
* CO |
q q |
||
интегральная |
||
пределения имеет вид
O cA x-O , |
X |
|
|
|
||
|
|
i I |
9C-Ciu |
|||
d x - | |
|
f |
||||
Odx-*-| |
|
- 4-0 |
|
|||
• a0 |
U/f X |
Си |
||||
(ddX |
_ |
|||||
4 |
|
|||||
x +n |
V a x + l |
Otl* |
' ' : ^*Co |
- - I . |
||
11. |
|
I*. |
|
Гi |
|
|
|
|
_ |
|
U/ |
|
|
|
|
|
_ |
|
||
функция в случае равномерного рас
О |
при |
ОС^Со |
|
|
r - w - \ ЪТ1 |
ПРИ |
И М |
4 |
(с м / р и с.2. 2.21 |
J |
при |
Х у |
4 |
|
§ 3. Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием дискретно.! случайно! величины назы вается сумма произведений всех её возможных значений на их вероят ности. Обозначив его £ ( более подробно Е(Х) или Ех )* полу чим:
14
Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины.
Покажем это. Пусть случайная |
величина |
- результат измерения. |
Выполнено как угодно большое |
число у / |
измерений. тЛз них Па4 из- |
67
мерений |
дали |
результат X» . . . . |
измерений - результат |
|||
Тогда среднее |
измеренное X |
равно: |
|
|||
|
|
|
|
|
rvu. |
( 2. 3. 2 ) |
|
Л |
у |
~ г у |
_1у + - ‘ - + X ^ |
||
Так |
как |
J |
неограничение |
велико, частоты вариантов неогра |
||
ниченно |
близки к |
их вероятностям.: |
|
|||
У -Р № .) |
|
4tn |
|
|
||
|
--------^ |
' P |
l M |
|
||
Правая часть равенства ( 2 .3 .2 ) принимает вид правой части равен
ства |
( 2 .3 .1 |
) . |
Приравнивая |
левые части, получим: |
Х -Б (З С )* |
|
|||
|
Перейдем |
к |
непрерывной |
случайной |
величине. В |
общем случае |
её |
||
возможные значения лежат в |
интервале |
(~ о о |
^ О О |
) . |
|
||||
|
Чтобы получить математическое ожидание для непрерывной слу |
||||||||
чайной величины, |
надо |
в Формуле ( 2 .3 .1 ) вероятность принять |
|
||||||
определенное |
значение |
Дед |
заменить вероятностью попадания случай |
||||||
ной |
величины |
в элементарный |
интерзал (Эсд ^ ^ Д Х ) |
„ которая |
рав |
||||
на |
^ 0се) д 3с |
|
, а затем перейти к пределу |
ппи |
: |
|
|||
|
«► |
|
|
|
Ч 00 |
|
|
|
|
|
АХ~»(Г— |
|
X 4 (x )d x . |
-U.X!>.) |
|||||
|
|
Лс |
|
|
|
|
|||
|
|
(-ао;Хс^+00) |
|
|
|
|
|
||
5 4. Дисперсия случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины называется сумма произведений квадратов отклонений от математического ожидания всех её возможных значений а ах вероятностей.
Обозначив её J) ( более подробноЗЯХ) или Э х ) » получим;
( г *“ Л >
С’ \
Дисперсия характеризует разбросанность случайной величины около её
среднего |
значения. |
С |
увеличением разбросанности дисперсия |
возраста' |
|||
е т , |
ибо |
возрастают |
вероятности ХЧХД тех |
вариантов |
, |
которые |
|
сильно отклоняются |
от |
Е х - |
|
|
|
||
|
Переходя к непрерывной случайной величине таким же способом, |
||||||
как |
это |
было сделано |
для математического |
ожидания, |
получим: |
||
|
|
|
|
-too |
|
|
|
|
|
|
З Н Х .Ы l 4 - < - 0 4 W i A x |
( |
г . ч . 2 ) |
||
|
|
|
|
-со . |
|
||
|
Размерность |
|
размерности |
случайной ве |
|||
|
дисперсии есть квадрат |
||||||
личины. Чтобы случайная величина и характеристика её разбросаннос ти выражались в одних единицах, вводится понятие среднего квадра
тического отклонения |
т ' |
( более подробно СТ^У) |
или |
)* |
Средним |
||||||||
квадратическим отклонением случайной величины называется корень |
|||||||||||||
квадратный из |
её дисперсии, |
|
|
- |
|
|
|
|
|||||
|
Значения |
|
|
л |
можно рассматривать |
как варианты |
случай |
||||||
|
(С;Д " Е Х) |
||||||||||||
ной |
величины |
[Х 'Ё х/У " |
• |
-*х вероятности равны |
|
|
, ибо |
с ка |
|||||
кой вероятностью случайная величина X. |
примет вариант |
Х ц |
, с та |
||||||||||
кой |
же |
вероятностью случайная |
величина |
чХ-'Ьх-) |
|
примет вариант |
|||||||
|
|
. Тогда |
правую |
часть |
равенства (2 .4 Д ) |
можно рассматрива! |
|||||||
как |
математическое |
ожидание случайной величины (Х .-Е х) |
. Таким |
||||||||||
образом Д ( X ) - Е( X ' Г:Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из |
сравнения |
правых |
частей |
Формул |
(2 ,3 .3 ) |
и |
(2 .4 .2 ) видно, |
|||||
что для |
непрерывной случайной величины |
также £ v X )- Ц Х ' |
|
||||||||||
|
Следовательно, дисперсия ость математическое ожидание квадрата |
||||||||||||
отклонения случайной величины |
от |
её математического ожидания. |
|||||||||||
|
5 |
Система двух |
случайных |
величин |
|
|
|
|
|||||
|
Очень часто результат опыта описывается не одной, а двумя, |
||||||||||||
гремя и более |
случайными |
величинами. Совокупность |
нескольких слу- |
||||||||||
69
чайных величин, рассматриваемых совместно, называется системой слу
чайных величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если на |
координатную плоскость |
|
наудачу |
брошена |
точка, |
то |
её |
||||||||
координаты дают систему двух случайных величин ( Х ^ ) |
|
(рис, |
2 .5 Л ) . |
||||||||||||
Интегральной |
функцией распределения |
системы |
случайных |
величин(Х,Ч) |
|||||||||||
в некоторой |
точке |
(Л,!}) |
называется |
вероятность |
того, |
что величи |
|||||||||
на X |
примет |
значение |
, |
а величина |
У |
|
примет |
значение |
|
||||||
. т -е . K x . ^ ' - p O U X , ^ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Геометрически |
|-(%)^) в |
точке |
|
есть вероятность |
попадания |
слу |
|||||||||
чайной точки IX ,У ) в бесконечный |
прямоугольник |
Ри |
с |
вершиной |
в |
||||||||||
точке |
|
, |
лежащий левее и ниже её ( см. |
рис, 2 .5 .1 |
). |
|
|
||||||||
Свойства |
функции распределения, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I . \-{Ъм) |
>,Q |
, |
так |
как по |
определению |
она |
является вероят- |
||||||||
ностью. |
/! • |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
неубывающая |
функция |
относительно |
своих |
аргументов. |
|
||||||||
Основное |
практическое |
значение имеют |
системы |
непрерывных случай |
|||||||||||
ных величин. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только системы непрерывных случайных величин, распределение которых удоб нее характеризовать не Функцией распределения, а плотностью распре деления.
. Вероятность |
попадания |
точки в некоторую область UT |
обозначается |
|
P ^ J ^ U T j |
• Возьмем |
элементарную клетку dW" |
. Её положение опреде |
|
ляется координатами |
, а площадь равна |
, |
Аналогично то |
|
му, как было для одной случайной величины, определяется плотность
распределения системы двух случайных величин:
p j ( U i ) t w )
^ VX )^) -
ЛГ ’ 4