Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Пренебрегая бесконечно малой

третьего порядка, получим;

Вероятность попадания случайной

точки ( Х Д ) в элементарный

прямоугольник, примыкающий к

точке

00 сторонами АХ и

равна произведению плотности

распределения системы в

точке (£ ,^ У

и площади прямоугольника.

Свойства плотности распределения

системы случайных величин,

1с Вероятность

U f-) [ j

•

Действительно, чтобы найти

поступаем так.

Разбиваем

тей ,

искомая вероятность равна сумме вероятностей попадания систе­

мы в

какую-либо клетку. Выполняя суммирование

и переходя к пределу

при

AOl-^ o е

—? q .

поручим:

- I f

(2 ,5 .1 )

1

ur

4

*•

-oo -OO

u

^

ния, используя

формулу

(2 о 5 .1 ),

Швам

;

р ( К х

У ( ^ г

<=R.) J j

‘ЬосЦ -

_ -ос -ОО

что

X

Lj

Отсюда следует,

К м ) * ] ^ Х |

(2 .5 .2 )

-О0 -V33

^

Зв Найдя вторую смешанную производную от обоих частей преды­

дущего равенства

{?. .5 .2 ),

получим

0 x 3 я

(2 .5 .3 )

Формулы

(2 „5 .2 )

и (2 .5

.3 ) выражают взаимосвязь между интегральной

функцией распределения

и плотностью распределения

системы (Х ,У ).

Ч.

Полагая

в равенстве ( 2 . 5 . 2 ) * - ° 0 и

находим вероят­

плотность Хо^ . Это есть

достоверное событие.

Отсюда,.имеем:

•t O Q

Ч С О

|dx|

- I

(2 .5 .4 )

-со

-00

*

Ci1истсма а

д

называется равномерно распределенной в области

.UT ,

если

её

плотность

распределения задана

так:

J t

внутри

\ 0 вне

. UT

Здесь

С

-

постоянная величина. Её находим„

используя равенство

(2 .5 .4 )

:

| dxl

j 10-ciOi-Am

C*UT

Примечание: Для удобства записи

площадь

области

будем o6o3le-

чать той же буквой, что и саму область.

Из равенства tuTil

находим ь -

*

Пусть область

[Г

целиком расположена

внутри

области (аГ ( см. рис.

2 .5 .1 ). Вероятность

попадания системы

в

область { f находим

по изложенному

выше

правилу:

е -а х -А ч

—

иГ

л-

*

f

события с о с ­

Отношение —

называется геометрической вероятность»

V

Лана система случайных величин (Х .^ )

и еб

плотность распре­

деления

*0 Найдем вероятность 'попадания £

в

интервал

(.Ос^ОслдХ), при

этом

!Г

может иметь любое

значение.

Иными слова­

ми^ найдем вероятность попадания

системы. (X ,У )

в элементарную по­

лоску

AS

(ри с.

2 .7 .1 ) .

Используя правило

вычиоления

вероятности

попадания

системы в

заданную область,

получиш

.

К(ХЛ)6^М

1

Щ

0

Д Х

йУ

u X

в

По малости

можем пренебречь

изменением £

этом интервале.

+ оэ

в

•

.Тогда

интеграл

j

будет выступать как постоянная вели­

чина.’

Отсюда

•'**

*

Ь+*Х Y °

*

г+оо

•J < Ц

- [

Н

х 5

•

чайной величины \ • Обозначив её

получим:

+00

^ Х ) = | (Н М * ‘Ч

“

.

(2 .7 .1 )

-сй

.

§

8. Условные законы распределения отдельных величин, вхо­

дящих

в

систему

В

отличие от

предыдущего

требуется

найти

плотность

распреде­

ления случайной величины X

при

условии, что

^

принимает

опре­

деленное значение

^

. Обозначим

эту

плотность

Пусть

попадает

в

интервал

^

.

Назовем

это

событием

$ е

Его вероятность:

*

где

“

безусловная

плотность

распределения X

• Пусть X

попадает

при

этом

в интервал (х ^ с + д х )

- событие Р> с условной вероятностью

(

х

/

.

Произведение

событий

^ « ф д а е т

попадание

системы

( л ^ ) в

элемен­

тарную клетку Д\ЛГ (смо рис. 2 .7 .1 ).

Следователь но, $[£*§) - |р

^

- Н1^) ^

*Д^ ,

гае

-

плотность распределения

системы ( Х ^ )

По формуле

вероятности

произведения событий

имеем:

И«л-w = w «я) ■v I а / л») - 1нМ ) 4 у ‘с( * /

! к у &

г

В двух последних равенствах одинаковые левые части. Приравнивая

правые,

получим:

Условие,

что

0 пРеДеле приД^->0 превратится в усдо-

вие 3 - 1^

,

следовательно