Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

функции,

получим:

♦03

1

+

I

+ G O

„ 1

X

% г

-ЗЬ

0txe

*<■

^

+

Ах>

0

+й©

t

С

Вычисляя

интегралы

и помня,

что

j £-X d

x -

1

- интеграл

Пуассона, получим

0

2 .

Найти математическое

ожидание длины хорды, соединяющей за­

данную точку окружности радиуса Я

с произвольной точкой этой окруж­

ности.

Р е ш е н и е .

Пусть точка $

(рис.

2 .1 3 .2 )

является

заданной,

точка

Б - произвольной. Угол

ЛОб -

случайная

величина X

•

.p io e .lib .i,.

Поскольку

все

положения точки

&

равновозможны,

X

имеет равномер-

ную плотность:

| 0

при

L при с х х а ДЛ

О

при

x

j l f i

ii«

Из условия

j

^ (jx )d x = (

находим

C “ -jj

-со

с

Длина хорды Л & - случайная

величина

^

.

Она является

функцией Х ‘

'

. Ее математическое

ожидание находим по форму-

-fcO®

О

’3»Л

•^sckx. 4

ле (2.13.4): E(.^)i

4

^[о tlx + [

1

?® ,

40.

J *

]o

+ l o d b ' j T

3 .

Найти

математическое ожидание длины хорды, проведенной

круге радиуса

Я

параллельно

заданному направлению.

Р е ш е н и е . Пусть заданное

направление - вертикальное

(рис.

2 .1 3 .3 ).

Абсцисса середины хор­

ды -

случайная

величина X . Оны име­

ет равномерную плотность:

' 0 при

V

При

h О

Уравнение окружности

Длина хорды

- случайная величина

Ю - Д ^ - Х 1

&е математическое ожидание равно:

VCO

4R.

^

£ ( 0 ) - | Н ^ d x - j

■’С0

-d

Ч.

Колесу

радиуса

R, придается

вращение, которое затухает

вследствие

трения.

Фиксированный радиус,

останавливаясь, образует

лах от 0 до ЗЛ» .

Найти математическое

ожидание

и дисперсию расстоя­

ния конца радиуса от горизонтального диаметра.

Р е ш е н и е .

Пусть O.U. - фиксированный радиус (рис.

2 Л 3 .4 ).

Его угол с горизонтом - случайная величина X

. Согласно

условию

задачи, имеем плотность распределения

X

:

f

0 при

?с (О

<{(*)

: {

t при

%Г\

i

0 при

тс,') №) .С - j-jr

НЫМ формулам:

(2 1 13 .4 )

и (2 .1 3 .5 ) .

- E U

^

3ST

-

.

*л

•

I )

j JL i4Cw,oc\

-

" &, * * ■' тГ

О

0

'i

$

‘

•Э(|Ч|) - (

L

f

f

-

Ц|*5^ ' f"f-иdx -

J

е

Ь

•nl l t

-

к-)

5 .

Неподвижная

точка 0

находится на высоте

^

над концо

горизонтального отрезка и«*& длиной

Ь

.

На отрезке J}0> находится

случайная

точка ^ » в с е положения

которой

равновероятны. Найти ма­

тематическое ожидание угла j)o jU, (р и с.

2 .1 3 .5 ).

Р е ш е н и е . Угол Jk>uUsслучайная

величина,

которую

обозна-

О

чим

•ц

Сна является функцией слу-

j .

чайного

аргумента X

- расстояния

В

от точки

Л

до

точки J ji.

Согласно

условию

задачи,

величина

X

имеет

плотность

распределения:

j О

при

X { О

- л

i

при

<)(% (-£

где

t

-

1 0 при

Х у &

Ь

Y

Непосредственно из чертежа

в

Математическо

следует, что ^

ожидание

этой

функция

находим

по

формуле

( 2Л 3. 4) ;

d

f

c

±

и { \ * - £ )

б .

Основание

равнобедренного

треугольника

-

случайный отр

длина которого равномерно распределена

в

пределах от

0 до 5 см.

I I 8

Всем

этим требованиям

удовлетворяет

система

случайных величин

(1,4). которая

изображается точкой

внутри

треугольника

\Г

(ри с.

2 .1 3 .7 6 ).

Любое

положение точки равновозможно, поэтому плот­

ность

распределения системы

имеет

вид:

< 1* . ^ -

t

внутри

б*

О вне

IГ

Из условия

Ц CdxcU j

I

находим

С -

1_

е1

Математическое

ожидание

и дисперсию

функции

находим по известным

формулам (2 .1 3 .6 )

и (2 .1 3 .7 )

Ос

•J-

U

о

о

U

8.

е

о

J

I

Индикатор

кругового

обзора

навигационной станции

представля

ет собой

круг радиуса

Я» .

Сигнал

от

маяка с

равной вероятностью

га .

Р е

ш е

н и е . Координаты пятна -

случайные величины

и У

(р и с. 2 .1 3 .8 ).

Поскольку все

положения

пятна равновозможны, систе­

ма С&>У)

имеет равномерную

плотность

внутри круга,

т .е .

I

i внутри круга

*

v

{

0 вне круга

Кз

условия

]] t-fciXcW -I

находим

,

■ .

\Г

®

c - w

пятна от центра

круга

Расстояние

X

есть функция двух слу-

чайных аргументов. Её математическое

ожидание

и

дисперсия

определяются по