Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
|
8. |
Два парохода должны подойти к |
одному причалу. |
Время |
их при |
||||||
хода равновозможно в течение одних суток. |
Определить вероятность |
|
|||||||||
того,что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, |
|
||||||||||
если |
время |
стоянки |
первого парохода один чао, |
второго - |
два |
часа. |
|
||||
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Обозначим: X |
- |
время |
■ |
||
|
|
|
|
|
прибытия первого |
парохода,, |
|
~ |
время |
||
|
|
|
|
|
прибытия второго парохода. Поскольку |
|
|||||
|
|
|
|
|
неизвестно, который пароход придет рань |
||||||
|
|
|
|
|
ше, возможно как ХЛ У, так |
к |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Эти случайные величины изменяются каж |
||||||
|
|
|
|
|
дая в пределах от 0 до 24 |
часов. Точка, |
|||||
|
|
|
|
|
изображающая |
систему |
, |
лежит в |
|||
прямоугольнике ОЛОС (рис. 2 .6 .8 ). Его площадь |
W* - М .4,. |
|
|
|
|||||||
Пусть |
вначале пришел первый пароход. Так как его стоянка |
I |
ч а с ,.т о |
|
|||||||
второму пароходу придется ждать освобождения причала, если |
|
|
, |
||||||||
Аналогично |
первому |
пароходу |
придется ждать |
освобождения |
причала, |
|
|||||
если |
Х ~ У О * . |
Итак, точка, |
изображающая |
систему (Х ,У ) |
, |
должна |
|||||
лежать в области, где выполняются неравенства: |
|
|
|
|
|
||||||
Это есть область |
0 |
5 |
^ |
|
|
|
|
|
|
||
Её площадь |
|
л |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5L4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя формулу геометрической вероятности ^аходим искомую вероят |
|||||||||||
ность: |
р - — ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
иг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Лва 7!ца имеют одинаковую вероятность придти к указанному
месту в течение часа. Найти вероятность
того, что время |
ожидания одним другого |
||||
будет не более 10 мин. |
|
|
|
||
Р е ш е |
н и е . |
Обозначим: |
X |
- время |
|
прихода |
одного |
лица, У |
- |
время, |
при- |
% |
|
|
|
|
веди- |
хода другого лица. Эти случайные |
|||||
ри^^Л.Ь S*
105
чины изменяются каждая в пределах от 0 до 60 минут. Точка, изобра
жающая систему |
. лежит в прямоугольнике |
(р и с. 2 .6 .9 ) . |
|
Его площадь |
UTrGo5*. |
|
|
Согласно условию задачи, должно быть: |
или |
||
Эти неравенства выполняются, если точка лежит в области |
|||
Её площадь |
iT= (.о1- |
( ьО-Ю)3*. |
|
Используя формулу геометрической вероятности, находим искомую ве
роятность: |
D. |
о^ ой |
|
1 ’ иГ |
1 |
30. Имеем квадратное уравнение: 1 * ч JLCt'bt 4 =0 . Величины |
||
коэффициентов |
равновоэможны в интервалах: -i i 0*^+1 |
|
Найти вероятность того, что корни уравнения вещественные, положитель-
Р е ш е |
н и е . |
Обозначим: |
Ъ . - \ , 4 - 4 |
- |
случайные величины. Они равновозможны |
||||
в интервалах:-i^ |
|
|
||
Точка, |
изображающая систему |
, |
||
лежит в |
прямоугольнике |
(р и с. |
2 .6 Л 0 ) |
|
Его площадь |
. Находим корни уравне |
|||
нии
Они дают две случайные величины:
|
|
|
|
|
Г7, |
|
|
Чтобы |
|
3, и J были |
вещественные положительные, |
необходимо |
выпол |
||
нить |
условия: |
|
. |
Эти условия |
выполняются, если |
||
точка, |
изображающая |
систему |
[ \ Ч),лежит в области QKjU. Её |
площадь |
|||
\J |
|
t |
1 |
’ |
|
|
|
равна: |
|
. Используя формулу неметрической вероят |
|||||
ности, |
находим искомую вероятность: |
p - i C - J L , |
|
|
|||
г ~иг ' №
106
IX. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса Ч, . Расстояния между осями прутьев ,равны Ql и 4 - Опреде лить вероятность попадания шарика, диаметром 33 , в решетку при од ном бросании без прицеливания, если траектория иоле та шарика перпен дикулярна плоскости решетки
1 |
Р е ш е н и е . Оси |
прутьев образуют |
|
|
клетки |
размерами |
0. и & (рис. 2 .6 .II). |
|
То, что центр шарика попадает в одну |
||
|
из таких клеток, - |
событие достоверное. |
|
|
|
t |
|
То |
Поэтому в произвольном углу произволь |
||
|
ной клетки можем поместить начало коор |
||
fuЛ . 1.641. |
динат, |
оси координат направить по осям |
|
прутьев и считать, что координаты центра шарика дают систему случай
ных величин |
, имеющую равномерную плотность |
в прямоугольнике |
|
с площадью |
чУ-й-&. . |
|
|
Чтобы шарик попал в решетку, его центр |
должен быть |
удален от оси |
|
прута на расстояние-, не превышающее l* |
Ю |
изображающая |
|
*£■ . А точка, |
|||
систему (X fi) |
, должна оказаться в области (на рисунке заштрихова |
||
на) с площадью |
|
|
|
о-.
Используя формулу геометрической вероятности, находим искомую ве роятность:
12. Парадокс Бертрана. Найти вероятность того, что длина науда-
чу взятой хорды в круге превосходит |
|
|
» |
длину стороны вписанного равносторон |
|
него треугольника. |
|
' ^ П е р в о е |
р е ш е н и е . Радиус |
круга равен |
Ха (рис. 2. 6, 12а ). .Дли |
на хорды определяется положением её
|ри,б.1> \й.ь,
107
середины (точки Ж |
) . |
Если точка |
Ж |
|
внутри круга радиуса ^Ха , |
||||||||||||||||
то длина хорды больше стороны вписанного равнастороннего треуголь |
|||||||||||||||||||||
ника, Декартовы координаты точки |
Ж |
дают |
енотему .случайных |
ве |
|||||||||||||||||
личин |
(Х > |
4 |
) . |
Эта система |
имеет равномерную плотность |
в круге |
|||||||||||||||
радиуса |
|
с площадью |
UT- |
, |
|
|
Требуется |
найти |
вероятность |
||||||||||||
того, |
что |
система |
окажется |
в круге |
радиуса ^ Х 0 |
о |
площадью |
|
|||||||||||||
. i f - |
ТГ^1г^ ‘ |
По |
формуле |
геометрической |
|
вероятности |
находим иоко- |
||||||||||||||
мую вероятность: |
|
^ . |
if |
~ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
р Z |
~ |
- |
~ц • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В т о р о е |
|
р е ш е н и е . |
|
Принцип решения остается тот |
же |
самый, |
|||||||||||||||
только |
середина хорды |
(точка |
Ж |
) |
определяется не декартовыми, а |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярными |
|
координатами: СО |
- |
полярный |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угол, |
X |
|
- |
полярный радиус |
(рио* 2 ,6 .126) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это есть |
|
варианты |
случайных величин |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ftj |
|
, которые имеют равновозмож |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные |
значения |
в интервалах |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о с |
|
|
^ |
|
|
|
о ^ R . ( Х с , , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
( Q |
,R/) |
|
имеет равномерную |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность |
|
в прямоугольнике |
ОЛШС. <с |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадью U Titftt |
(рис. |
2 .6 .1 2 в ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы середина хорды попала в круг ра |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диуса |
^ t 0 |
, |
полярный |
угол |
Q |
может |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть каким угодно в пределах от Q |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до |
|
^ |
, |
а полярный радяуо |
ft |
должен |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежать |
в интервале |
|
•9 |
Искомая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ^ -- )• |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятность есть вероятность того, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
система |
($ 2 |
, R, ) |
окажется в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольнике ОЛФКг |
с площадью |
|||||||||||
По формуле геометрической вероятности находим: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Парадокс |
состоит |
в том, |
|
что |
два решения дали разные результаты. |
||||||||||||||||
108
Причина парадокса - неполнота формулировки задачи, А именно, взятие хорды * наудачу" может достигаться разными способами. Хорда бралась из условия равномерной плотности координат её середины. В первом ре шении координаты декартовы, во втором - полярные.
|
13. |
На поверхности |
сферы радиуса |
(ъ |
произвольно |
выбираются |
||||||
две точки. Найти вероятность того , что проходяшая через них дуга |
||||||||||||
большого |
круга стягивает угол меньше |
60°. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Одну |
из |
точек |
(точ |
||||
|
|
|
|
ку |
0 |
) примем |
за полюс |
(ри с. |
2.6.13а ) |
|||
|
|
|
|
Вторая произвольная точка есть точ |
||||||||
|
|
|
|
ка ЛЛ . Плоскость, проходящая через |
||||||||
|
|
|
|
точки иЗ , |
0 и |
Ь (центр сферы), бу |
||||||
|
|
|
|
дем считать фиксированной, ^алее |
||||||||
|
|
|
|
возьмем плоскость, проходящую через |
||||||||
|
|
|
|
точки JsL , |
0 |
и С . Угол между |
||||||
|
|
|
|
плоскостями есть случайная величи |
||||||||
|
|
|
|
на, которую обозначим X |
.. |
Ялина |
||||||
дуги QJU, - также случайная величина. |
Её обозначим В . |
|
|
|
||||||||
Эти случайные величины |
изгоняются в интервалах: |
|
^ |
^ ^ |
^ ‘ |
|||||||
|
|
|
|
Точка, изображающая систему . ( V i ) , |
||||||||
|
|
|
|
лежит в прямоугольнике |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(рис. |
2 .6 .1 3 6 ). |
Его площадЫдГгйЧ,. |
||||||
|
|
|
|
Чтобы уголООЛ. был меньше |
60°, ау- |
|||||||
|
|
|
|
га |
бЙА/ должна |
быть |
меньше |
v* |
|
|||
|
|
|
|
т .з . должно быть |
J \ |
|
|
, 3 |
||||
|
|
|
|
X |
|
может |
быть |
любым в |
интервале |
|||
|
|
|
|
( |
%Z\) . Злсдовательно, |
вышеука |
||||||
занная случайная тсчкз |
( Х У ) |
должна |
оказаться |
в прямоугольнике |
||||||||
|
ГУ |
. |
Его плота ль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||