Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

роятное те:

V} -

laT

t

Ь

Задача допускает и другое решение.

Угол ОшДбуjJeT меньше 60°,

если точка

dL попадает

на кривую поверх­

ность шарового

сегмента высотой

. Площадь

1Г

этой поверхности равна:1Г -2Ли^к~ХТ|^(ы<лцив)

• Площадь

1*Г

всей

поверхности

шара равна:

W’ -HtTifi.1 ,

По формуле

геометрической

вероятности

находим искомую вероятность:

р - — - ~

Ответ отличается от полученного ранее. Причина этого в том, что

произвольность

выбора точки

vU/ может достигаться разными способа­

ми. В первом случае произвольно выбирались:

угол X.

, отсчитываемый

от фиксированной плоскости, и длина дуги

, отсчитываемая

от п о л к у

са. Во втором

случае использовался иной принцип* Вся поверхность

шара разбивалась

на малые

клетки одинаковой

площади

Др

. Всего

клеток.

Тогда

может разновероятно упасть в любую клетку. Собы­

тие J}

*

точка

упала на поверхность

шарового сегмента.

Искомая в е -

Роятность

есть

вероятность события

Л . Она равна: '

ГЬ

;*£ „jr

П»дР 'и г ’

где \Г

-

площадь кривой поверхности

шарового сегмента,

t/Г

- площадь

I .

Система

случайных

величин (Х,Ч) имеет равномерную плотность

3 кзздрате,

диагонали

которого

совпадают с осями координат, а длина

стороны равна '*% . Требуется

найти безусловные и условие законы

Ч ( * / р

^

M v )

I

при

о < ^ U

V

График функции

^ {Ц ])

есть

прямоугольник

(рис. 2 .8 .16

ломаная П )

высотой

и основанием,

равным

Сопоставляя

функции

Чх{^)

и

Ч ^ /^ ), видим,

что они разные. Следователь­

но, случайные

величины X

и

является

вероятностно

зависимыми.

Однако их

ковариация

равна

нулю. Чтобв показать это,

вычислим ма­

тематические ожидания

EQC)

и

:

+то

\ a x d ^ - - o ,

Ш ) - \ \ у ч ^

) ^

^

--

ы { г ,Ч):[j 1*-Е о [ f '

\\х

fcj -О

Случайные

-JO

X

-

и

\аГ

величины

и J

являются

некоррелированными.

2.

Система

случайных

величин

(,Х $ )

имеет

равномерную плот­

ность в квадрате с

вершинами:

Л

( - 1 ;

D ,

6

(х

;

D .

M

l ; - О .

( - 1 ; - I ) . Требуется найти

безусловные и условные законы распре­

деления случайных величин, входящих в

систему,

а

также

установить

их

вероятностную зависимость.

Р е ш е н и е ,

Область UT -

квадрат,указанный

в

условии

зада­

чи

(рис.

2 .8 .2 а ).

Плотность

распредедения системы имеет вид:

Свнутри

ь!

ч

W-

400

ь0 вне

|

С*I

ЛМ - J jta -X iU

с I

Из условия

находим t-T j'

• СО

J

.

и з

ч-со

ством: v ,W

-J

.

Взяв произвольное X в интервале

-К'КЛ-Н

,

получим:

чдх)-. U x - y

В интервале

jx|-?i f,(% ) - 0 „

График функции

ЧЛ1*-) есть прямоуголь­

ник высотой

4-

и основанием,равным 2 (ри с,

2.8.26). Аналогично

А»

Условный закон распределения случайной величины X .

определяется

равенством:

в Подставляя сюда известные41х ф и

Нч(ф » получим:

4 ( v 1) - - U

" p'

11, 0

d

L

О

при

t3c|7 i

Сопоставляя

функции

и

видим, что они одинаковы. Слу­

чайные

величины /и

и

*3

являются независимыми.

Математическое

ожидание

и дисперсия

функции

случайного

аргумента

(к § 13 )

I .

Случайная

величина X

подчиняется

нормальному закону рас­

пределения

. Определить математическое ожидание и

дисперсию случайной

величины

Р е ш е н и е ;

Используя

формулу (2 * 1 3 .4 ),

получим:

Ч-сО

1

^ ) ~ i

!%1W

e

^

• ПоД знаком интеграла

стоит четная

-со

функция. Следовательно,

Ц Ч ) - Ц * " Ni r i

« А х - Ч5Г

Дисперсию

$(1$) находим по Формуле (2 .1 3 .5 ):

0 * 4 “

• Раскрывая скобки

в подинтеграль-