Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
119
формулам |
(2 .1 3 .6 ) |
и (2 .1 3 .7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д |
г) |
- |
И |
|
|
|
|
^ |
- Н |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
М 2 ) - Щ \ М 1+ У '" § М |
^ |
clx -v V ^ - — |
• |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П р и м е |
ч а и и е . |
Полученные |
двойные |
интегралы |
легко вычисляют |
||||||||||||||
ся путем перехода к полярным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9. |
|
Вершина J\ |
прямого |
угла |
равнобедренного треугольника с о е - , |
|||||||||||||
динена |
отрезком |
прямой |
с произвольной точкой |
JX |
основания |
|
|
||||||||||||
(рис. |
2 .1 3 .9 ). |
Длина основания 3Lou.. |
Найти |
математическое |
ожидание |
||||||||||||||
длины |
отрезка |
J)iA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
? |
е |
ш е |
н и е . |
Обозначим J+wU* ^ |
, |
OvU- * |
X |
. Из |
чертежа |
сле |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дует, |
что |
|
|
|
. |
Любое |
поло- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жение |
точки cLL |
на |
основании |
равно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возможно. Отсюда плотность распреде |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ления |
случайной |
величины X |
*» |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pis |
|
|
|0 при |
Ос |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ (х ) |
- j |
t при -K X < *i |
, |
г д е с ь ^ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 при |
л-7 1 |
|
|
|
||
Математическое |
ожидание случайной |
величины |
^ |
(функции случай |
|||||||||||||||
ного аргумента |
X ' |
) |
найдем по |
формуле (2 .1 3 .4 ): |
|
|
|
||||||||||||
М У ) |
|
|
•y |
- d o t |
|
|
|
|
- |
’ i1’ - |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
|
ffi |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
§ I . Неравенство Чебышева |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Имеем непрерывную случайную |
величину |
. |
Известны её |
среднее зна |
|||||||||||||||
чение (или математическое ожидание) |
|
и |
дисперсия |
. |
Требует |
||||||||||||||
ся |
установить, |
с |
какой |
вероятностью |
абсолютная величина отклонения |
||||||||||||||
I
120
•Ч от E^ будет |
не |
меньше заданного числа |
i , |
Неравенство |
|
i выполняется, если ^3 |
попадает в один из ин |
тервалов (рис. 3 |
.1 |
и л и ^ 'Ч ,* 0 0 ) |
|
1 |
Ос |
I |
|
о |
-А - |
* 4 |
|
Е- |
£<.4 Ч |
||
Еиг* |
^ |
|
|
Р и с . МЛ
По правилу сложения вероятностей имеем: |
j}(J ^-~Е^ t'/ к) - |
|
|||
Н " т о 0 ^ Ё ; Г * ) + р ( Е ч Ч ^ < , + о о ) - 5 |
+ j |
0 |
( 3 . I . D |
||
0 |
0 |
|
' £цп |
|
|
^ |
F*^ |
|
в |
|
|
Далее |
|
J ( Г Р-цТ’Ч Ц )^ + |
|
||
* г |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
♦ еО |
. Так 'как |
^ |
|
число |
не |
|
|
||||
£j*t |
] |
{ г ^ 41^ |
|
|
|
то: |
|
|
|
|
|
отрицательное, |
|
|
|
|
|
В интервалах |
( - o o ^ u 't ) |
||
t е |
( V - Ч Ь |
о |
t l |
т,е> |
V • |
ь |
|
Следовательно,
и I £ ■ + *о°) имеем | ^ 'Г :ц \ 7 ^
tj-t |
3 |
*& |
* |
|
|
||
Ч |
|
+ ^ [ |
|
Отсюда V»'fc "г*
£л+Ъ
Заменяя левую часть этого неравенства по Формуле ( 3 . I . I ) , получим неравенство Чебышева:
ш
о л . г )
Оно |
отвечает |
на |
поставленный |
выше |
|
воп р ос. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
События, |
|
состоящ ие |
в |
том , |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
что |
|
|
|
|||||||
. являются |
противоположными, |
|
следовательно.|р(к1 У -Е ^ ^ ):| - |
Р(\Ч',Е ^ \ Я ^ в |
|||||||||||||||||||||||
Заменив |
в |
правой |
части |
второе |
слагаем ое |
на |
-|j |
|
из |
н ер а в ен ств а (3 01* |
|||||||||||||||||
получим |
неравенство |
Чебышева |
в |
следующей |
форме: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| p U V - E ^ K t ) ^ l - | t |
|
|
|
|
|
|
|
( з л - э ) |
|
|
|||||||||||
|
§ |
2 . |
Устойчивость |
средних |
|
(теорем а |
Чебышева) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
П роизводится |
серия |
измерений |
какой -то |
величины9 X |
» м атем ати чес- |
„ |
|||||||||||||||||||||
кое ожидание и дисперсия которой |
Г:х |
и |
3)х |
|
* |
Число |
измеренийYv |
|
|||||||||||||||||||
неограниченно велико. Результаты |
измерений: |
X*\ г, |
во. |
Х * , . |
|
||||||||||||||||||||||
Среднее |
измеренное |
(обозначи м |
е г о |
|
|
) р а в н о : |
|
|
|
|
|
vX* |
|||||||||||||||
Р езультат Vе |
измерения |
зависи т |
о т |
|
множества |
|
причин, |
|
т . е£„I е ст ь |
|
|||||||||||||||||
вариант |
случайной |
величины |
X«L |
|
о |
Все |
измерения |
|
производятся в |
од и - |
|||||||||||||||||
|
* |
условиях |
и |
резул ьта т |
каждого |
из |
них |
не |
зависи т |
от |
предш ес |
||||||||||||||||
наковых |
|||||||||||||||||||||||||||
вующих р езу л ь та тов . |
Поэтому |
все |
случайные |
величины^kvХ$ |
вС0Х *, |
|
|||||||||||||||||||||
независимы, |
имеют |
одно |
и |
то |
же |
математическое |
ожидание |
|
, |
одну |
|||||||||||||||||
и ту |
же |
дисперсию |
|
|
* |
|
которые |
являются |
|
математическим |
ожидани |
||||||||||||||||
ем |
и дисперсией |
измеряемой |
случайной |
величины |
X |
о |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Среднее |
измеренное |
|
^ |
также |
является вариантом случайной |
величины |
|||||||||||||||||||||
j |
, |
'равной V* |
|
|
|
К/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
J * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Её |
математическое |
ожидание |
|
|
|
и |
дисперсию |
|
|
|
находим, |
использ |
|||||||||||||||
теоремы |
о |
математическом |
ожидании |
|
и дисперсии ; |
получим |
|
|
|
||||||||||||||||||
122
s . -s> |
|
|
- У i s h u - в д > ■•- а д Л - |
|
|||
• " .« * -- ■ % |
|
|
|
|
|
|
|
. Подставляя |
"4 |
, |
а также |
найденные Eij |
и |
в неравенство Че |
|
шева ( З Л . З ) , |
эолчшу ! |
|
|
|
|
||
Если а -^ о о |
9 |
то |
при как |
угодн о малом, |
наперед |
заданномt |
, |
” > 0 ^ |
|
гг —?са |
Е * Ц Ф 1 |
(3 .2 Л ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно„ если число измерений неограниченно увеличивать, то среднее измеренное становится неслучайной величиной, ибо с вероят ностью, как угодно близкой к единице, попадает в как угодно малый
интервал # Имеет место устойчивость«средних.^
Этому можно дать ещё следующую трактовку„ Если выполнить множество серий измерений и в каждой из них число измерений неограниченно
велико, то практически достоверно, что средние измеренные будут |
|
|||||||||||||
как угодно близки к одной и той |
аз величине £*, |
а т .е , |
как |
угод |
||||||||||
но близки между собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
§ 3, |
Устойчивость |
частот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производится къ |
независимых |
опытов. В каждом из |
них |
может |
наступить |
|||||||||
иди не наступить событие <Л . |
Вероятность |
р (J}} - |
р |
в каждом опы |
||||||||||
те , |
тогда |
р (Д )-1 ~ р ~ |
, |
Пусть |
событие |
J) |
в &г опытах |
происходит |
||||||
Vtt |
раз, |
тогда |
его частота |
р |
равна? |
|э |
|
|
|
|
|
|||
Из теоремы Чебышева следует, |
что |
если |
УЬ |
неограниченно |
велико, |
то, |
||||||||
с практической достоверностью, частота события в |
ги |
опытах |
как |
|
||||||||||
угодно близка к его вероятности в отдельном опыте» |
|
|
|
|
||||||||||
Докажем это» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В каждом |
опыте |
событие |
J \ |
может произойти |
либо |
0 |
раз, |
либо I |
раз. |
|||||
/■