Файл: Шаумян, С. К. Аппликативная грамматика как семантическая теория естественных языков.pdf

Комбинатор W называется дупликатором. Если F есть двух­ местная функция, то WF есть одноместная функция, которая свя­ зана с функцией F равенством

(3)WFX = FXX.

Комбинатор В называется композитором. Пусть F есть некото­ рая одноместная функция, и при этом аргумент функции F пред­ ставляет собой значение некоторой другой одноместной функции G, аргументом которой служит X, что можно представить так:

(4)F (GX).

Такое выражение иногда неточно называют функцией от функ­ ции. Правильным же следует считать название «функция от значе­ ния функции». При помощи оператора В мы получаем вместо двух функций F и G одну сложную функцию ВFG, непосредственно за­ висящую от X. Функция ВFG связана с функциями F и G равенст­ вом:

(5)ВFGX = F {GX).

Сложная функция ВFG получается так: сперва В апплицируется к F, в результате получаем функцию ВF, аргументом которой является функция С, далее апплицируем BE к G и в результате по­ лучаем функцию ВFG, аргументом которой служит X. В резуль­ тате аппликации ВFG к X получаем комплекс ВFGX, равный комп­ лексу F(GX).

Следует обратить внимание, что в первом комплексе четыре ис­ ходных компонента: В, F, G, X, а во втором только два: F и {GX). Если в первом комплексе восстановить скобки согласно принятому соглашению о группировке налево, то он будет иметь вид:

(6)(((ВЕ)С)Х)

или (если не восстанавливать внешние скобки): ((ВF)G)X. Комбинатор К назовем оператором фиктивного аргумента.

Если G есть нульместная функция, КС есть одноместная функция, которая связана с функцией G равенством

(7)КGX = G.

Рассмотрим теперь комбинаторы, обозначаемые греческими буквами Ф и W.

Комбинатор Ф. Пусть F есть двухместная функция, и при этом ее первый аргумент представляет собой значение некоторой одно­ местной функции С, аргументом которой служит X, а ее второй ар­ гумент представляет собой значение некоторой одноместной функ­ ции Н, аргументом которой служит также X, что в символической записи можно представить так:

(8)F(GX) (Н Х ).

72

При помощи комбинатора Ф мы получаем вместо трех функций F, G и II одну сложную функцию Q>FGH, непосредственио завися­ щую от X. Функция <$>FGH связана с функциями F, G и Н равенством

(9) ФFGHX = F(GX) (FIX).

Комбинатор Ф находится в таком же отношении к двухместным функциям, в каком комбинатор В находится к одноместным функ­ циям.

Комбинатор Ф. Пусть F есть двухместная функция, и при этом ее первый аргумент представляет собой значение некоторой одно­ местной функции D, аргументом которой служит X, а ее второй аргумент представляет собой значение той же одноместной функ­ ции D, аргументом которой служит Y, что в символической записи можно представить так:

(10)F(DX) (DY).

При помощи комбинатора Ф мы получаем вместо двух функций F и D одну сложную функцию Ф FD непосредственно зависящую от X жY. Функция Ф FD связана с функциями F и D равенством

(И) ФFDXY = F(DX) (DY).

Рассмотрим комбинатор С*. Если F есть одноместная функция, аргументом которой служит X, то С.ИХ есть функция, связанная с функцией F равенством

(12)С*XX = FX.

Комбинатор Сц. связан с комбинаторами С и I равенством

(13)С*ХУ = CIX Y .

Это равенство выводится следующим образом:

(14) С*ХУ = YX = I (YX) = І(ІУХ) = IY X = CIX Y .

Мы рассмотрели восемь комбинаторов I, С, W, В, К, Ф, Ф, С*. (Первые семь из них относятся к так называемым регулярным ком­ бинаторам, т. е. к таким комбинаторам, которые действуют на ар­ гументы функции F). Эти комбинаторы будут играть существенную роль при задании семантических правил. Остановимся теперь на двух важных понятиях, связанных с действием комбинаторов. Это — понятие степени комбинаторов и понятие комбинаторов задержанного действия.

Для всякого регулярного комбинатора X его степень опреде­ ляется так:

(15)X1 = X

Хп+1 = В Х Хп

(символ = означает «равен по определению»).

Если X есть регулярный комбинатор, то действие Хп заключается в повторении операции X п раз.

73

Для n — 2 мы получаем следующие равенства:

B-FXYZ = В(ВF)XYZ = ВF(XY)Z = F((XY)Z) = F(XYZ) C’FXY = C(CF)XY = CFYX = FXY

W*FX = W(WF)X = WFXX = FXXX

K2FX Y = К(КУ)ХУ = КХУ = X.

Степени особенно важны для комбинаторов В и Ф. Относитель­ но этих комбинаторов имеет место следующее утверждение 2:

B^HXZ1 ... Z" = ^(XZ1 ... Z’1),

Ф’ч /х у г 1 ... zn = [/(xz1 ... z n) (yz1 ... zn).

Следует иметь в виду, что в соответствии с принятым нами спо­ собом различения разных объектов верхние индексы у символов Z1 ... Z'1означают, что это разные объекты, тогда как верхние ин­ дексы у комбинаторов служат показателями степеней.

Перейдем к комбинаторам задержанного действия. Комбинато­ ром задержанного действия является любой регулярный комби­ натор Xfc, где нижний индекс указывает, что действие регулярного комбинатора задерживается на к — 1 шагов и начинается с к шага. Отсюда получаем, например, следующие равенства:

(17)СkFnX l . . . Х*ХЙ+1. . . Xn = FnX l . . . Xfc+lXft ... X'1

(18)W fc^X1. . . XftX*+1. . . X’1= FnX l . . . X kX kX k+1 . . . X 11

(19)Kfe/^X1... X kX k+1X k+2 . . . X n = FnX l ... X*X*t2... Xn

(20)ВfcFnXx... X kX k+lX k+2... Xn = FnX l ... X k(Xfc+1Xfc+I) ... Xn

Всемантических преобразованиях существенную роль будут играть также пермутаторы специального вида, обозначаемые сим­ волами С[п] и ССпй. Пермутатор С[П] определяется равенством:

(21) C[n] FXXX2 ... Xll+1 = F X ^ X 'X * ... Xn.;|

Действие пермутатора С[п] равно произведению действий пермутаторов С„, ..., С2, Сх, что в символической записи можно пред­ ставить так:

(22)С[П] = С,у ... ‘Gj-Cj.

Под произведением действий пермутаторов условимся понимать следующее: сперва применяется пермутатор Сл, затем — Сп_х и т. д., и наконец С2 и С^. В соответствии с этим можно записать формулу (21) так:

74

(23) (Cn•... • C2■Cx) FX'X* ... Xn+1 = F X ^ W X * ... X*.

Пермутатор ССт ^ определяется равенством

(24)CM FXm+1X x ... X = FX1 ... X mX m+1.

Действие пермутатора CtmJ равно произведению действий пермутаторов Clt Со, Ст , что в символической записи можно пред­ ставить так:

(25)СМ = С^Со- ... Ст .

Пермутаторы С[П] и ССт 1 являются обратными друг к другу. Мы не исчерпали всего списка возможных комбинаторов, но для семантической теории естественных языков наиболее существен­

ными должны считаться рассмотренные выше комбинаторы. Спрашивается: какие эписемиопы можно приписать рассмотрен­

ным комбинаторам?

Поскольку комбинаторы определяются в связи с функциями, которые рассматриваются как переменные, вместо которых могут быть подставлены конкретные функции генотипического языка, то комбинаторам могут быть приписаны не конкретные эписемионы, а абстрактные формулы эписемионов, содержащие переменные, вместо которых можно подставлять конкретные эписемионы. Абст­ рактные формулы эписемионов будем для краткости называть аб­ страктными эписемионами. Таким образом, только что поставлен­ ный вопрос необходимо переформулировать так: какие абстракт­ ные эписемионы можно приписать рассмотренным комбинаторам?

Метод определения, какая абстрактная формула эписемионов должна быть приписана данному комбинатору, заключается в сле­ дующем.

Мы начинаем с того, что берем формулу в правой части опреде­ ления данного комбинатора и приписываем этой формуле произ­ вольный абстрактный эписемион z. Рассматривая эту формулу с приписанным абстрактным эписемионом в качестве корня дерева построения семионов, мы строим дерево путем последовательного разложения этой формулы до ее элементарных компонентов. В про­ цессе построения дерева мы приписываем каждому компоненту аб­ страктный эписемион, опираясь на правило б) построения семио­ нов. В соответствии с этим правилом, если формула X с приписан­ ным ей абстрактным эписемионом q разлагается па оператор А и операнд В, то приписав операнду В произвольный абстрактный эписемион р мы должны заключить, что оператору А должен быть приписан абстрактный эписемион Apq.

После того как получено дерево для формулы в правой части определения комбинатора, мы строим соответствующее дерево для формулы в левой части этого определения, используя при этом ин­ формацию, полученную для первого дерева. В результате мы при­ ходим к определению абстрактного эписемиона, который должен быть приписан соответствующему комбинатору.

75

Покажем на конкретном примере, как применяется только что указанный метод определения абстрактных эписемионов для комби­ наторов. Пусть мы хотим определить абстрактный эписемиои, который должен быть приписан комбинатору В.

Определяя абстрактный эписемиои, который должен быть при­ писан композитору В, мы будем исходить из следующего рассуж­ дения. Пусть выражению F (GX) будет приписан абстрактный эписемиои z; тогда, согласно правилу б) построения семионов, можно допустить, что GX имеет абстрактный эписемиои ѵ, а F — абстрактпый эписемиои Дvz. Это можно показать на дереве:

zF (GX)

Далее, если выражение {GX) имеет эписемиои ѵ, то согласно указанному правому построения семионов мы можем допустить, что X имеет эписемиои ц, а G — эписемиои Аиѵ. Таким образом, по­ лучаем дерево:

Построим теперь дерево для формулы ВFGX. Если мы приписа­ ли абстрактный эписемиои z формуле F {GX), то мы должпы при­ писать этот абстрактный эписемиои и формуле ВFGX. Из дерева (27) известно, что семиону X приписывается абстрактный эписемион ц; поэтодгу на первом шаге построения нового дерева будем иметь

Из дерева (27) известно, что семиону G приписан абстрактный эписемиои Диѵ, поэтому па втором шаге построения нового дерева будем иметь

AAuvAuzBF AuvG

Из дерева (26) известно, что семиону F приписан абстрактный эписемиои Дг;г; поэтому на заключительном шаге получаем дерево:

zBFGX

Из дерева (30) видно, что комбинатору В должен быть приписан абстрактный эписемиои

(31)AAvzAAuvAuz.

76