Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 1
Для приведения этого уравнения к стандартному виду Ван-дер- Поль применял метод вариации производных постоянных в сле дующей форме:
■* = сх (/) cos U)t -f с2 (Osin ut |
| |
(И 1 10) |
X = ш ( — Cx (^) sin со t + C2(t) COS 0) t) |
J |
|
Подставляя (II. 1.10) в (IIЛ .9), находим уравнения для определения функций сх (t) и с2 (£):
сх cos со t -f с2sin со t = О
(И .1 . 1 1 )
— Схси sin со t -|—С2 со cos со t = е /о (^, сх, с2)
где
Д {t, сх, с2) = / (сх COS СОt ~\~С2sin СОt, — Схсо sin СОt -f- с2со cos СОt).
Разрешая систему (II. 1.11) относительное* и с2, получаем урав |
|
нения в стандартной форме |
|
с t = |
------— sin со t / 0 ( t , си с2), |
с2 = |
-^~ COS < o t f 0 (t , clt c2). |
В работах H. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского для при ведения уравнения (И. 1.9) к стандартному виду используется
преобразование |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л: = |
« cos ф, |
х |
= — <2со sin ф, |
ф= |
со/ + <р. |
(II. 1.12) |
||
Подставляя (П.1.12) в (ИЛ.9), |
находим |
|
|
|
|
||||
|
|
a cos ф— а срsin ф= О, |
|
|
|
||||
где |
а со sin ф+ cl со срcos ф= — е/о (а, Ф), |
|
|
||||||
/о (#, Ф) = / |
(a |
cos ф, — а со sin ф). |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— — — |
sin ф/о (а, ф), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
а> |
|
|
|
|
|
|
<Р= — |
cos Ф/о (а, Ф), |
Ф= |
+ ?• |
|
|
|||
Полученная система имеет стандартный вид |
и эквивалентна |
ис |
|||||||
ходному |
уравнению (II.1.9). |
|
уравнений к |
стандартному |
виду |
||||
Другие способы приведения |
|||||||||
описаны |
в работе [78]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем будем предполагать, что приведение уравнений
кстандартной форме уже выполнено тем или иным способом. Одной из первых достаточно общих теорем об усреднении
систем дифференциальных уравнений является теорема Н. Н. Бо
20
голюбова [7]. В настоящее |
время |
существует много теорем об |
||||||||
усреднении уравнений |
стандартного |
вида, обобщающих в том |
||||||||
или ином смысле теорему |
Н. |
Н. |
Боголюбова. Достаточно под |
|||||||
робно изложены эти |
обобщения |
в |
монографии [78]. |
Приведем |
||||||
формулировку теоремы Н. Н. Боголюбова. |
|
|
||||||||
Теорема Н. Н. |
Боголюбова. |
Пусть |
|
функция X (t, х) удов |
||||||
летворяет следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) для некоторой области D |
можно указать такие положи |
|||||||||
тельные постоянные М и X, |
что для всех |
вещественных значений |
||||||||
^ > 0 и любых точек |
л:, х', |
х" |
из |
этой области |
выполняются |
|||||
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|X (t, х) |< |
М, |
|X (*, х ') - |
X |
(t, |
х") |< X |* ' - |
||; |
||||
2) равномерно |
по отношению |
к |
х |
в |
области |
D существует |
||||
предел (II.1.5).
Тогда любым, сколь угодно малым положительным р и ~q и сколь угодно большому L > 0 можно сопоставить такое е0, что если £=£ (£) —решение уравнений (II.1.6), определенное в интер
вале 0 < t < |
оо |
и лежащее |
в |
области |
D вместе |
со |
своей р-ок- |
||
рестностью, то |
для |
0 < |
е < |
в0 |
в интервале 0 < |
t < |
L е- 1 спра |
||
ведливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1И * ) - * ( 0 ||<ч, |
|
|
||||
в котором x ( t ) — решение |
уравнения |
(IIЛ.4), |
совпадающее с |
||||||
\ (/) при t = |
0. |
|
одну |
специальную |
теорему |
о |
непрерывной |
||
Приведем |
еще |
||||||||
зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра
[78]. |
в дифференциальном уравнении |
|
|||||
|
Теорема. Пусть |
|
|||||
|
|
|
х = X (t, х , X) |
|
|
(*) |
|
функция X (t, х, X) |
определена в области Q ]0-< t |
Т, |
xeD,teX\* |
||||
где D — ограниченная |
область |
в R n, Л — некоторое |
множество |
||||
Значений параметра X, |
имеющее |
Х0 предельной точкой, и пусть: |
|||||
|
1 ) функция X (t , х, |
X) равномерно |
ограничена |
и |
непрерывна |
||
по |
х равномерно относительно |
t, л-, X; |
|
|
|
||
|
2 ) функция X (t, х , |
X) интегрально |
непрерывна |
по X в точке |
|||
Х0, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
1 6 [0, Т ], х е D;
3)при X = Х0 уравнение (*) имеет решение х (t, X), опреде
ленное при |
лежащее в D и удовлетворяющее началь |
||||
ному |
условию х (0, Х0) = |
х 0 g D. Тогда |
каждому |
^ > 0 соответст |
|
вует |
такая |
окрестность |
U (Х0) точки |
Х0, что |
при X е U (Х0) для |
21
всех решений л;(£, X) |
уравнения (*), определенных при 0 < * < Г |
|||||||
и удовлетворяющих |
начальному условию х (О, X) = х 0, |
справед |
||||||
ливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||д:(*, Х ) - * ( г , |
X0)||<7J, |
t e [ 0 , T ] . |
|
|
|||
Из этой теоремы, в частности, можно |
получить |
одну из теорем |
||||||
об усреднении [78]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже будут доказаны две теоремы, |
которые |
назовем |
соответ |
|||||
ственно |
первой и второй теоремами об усреднении. |
|
||||||
3. |
Первая теорема |
об |
усреднении. |
Имеет место |
следующая |
|||
теорема |
об усреднении, |
устанавливающая |
близость |
решений |
||||
систем (II.1.4) и (II. 1.6) на конечном промежутке. Эта теорема аналогична теореме Н. Н. Боголюбова [7], однако отличается от
нее как условиями, так и методом доказательства. |
|
|
|||||||||||||||
Теорема II.1. |
Пусть |
функция |
X (t, |
х) |
определена и |
непре |
|||||||||||
рывна в области |
Q{t^> 0, |
х е D С /?л } и пусть |
в этой области: |
||||||||||||||
1) |
X ( t , |
х ) eL ip x (|х, Q); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
в каждой точке x e D |
существует |
|
предел |
(II.1.5); |
|
|
||||||||||
3) |
решение |
5 = |
5(0» |
5 (0) = х (0) е D |
усредненной |
системы |
|||||||||||
лежит в области D с некоторой р-окрестностью; |
|
|
|
||||||||||||||
4) |
на каждом |
конечном |
отрезке [ft, t2\ вдоль траектории \ (t ) |
||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
< М (t2 — tt)*) |
, |
М = const. |
|
|
||||||
Тогда |
для |
любого |
сколь |
|
угодно |
|
малого |
tj> 0 и сколь |
угодно |
||||||||
большого |
L > |
0 |
можно |
указать |
такое |
е0, |
что |
при е < |
е0 |
на от |
|||||||
резке |
0 < t < U ~ x будет |
выполняться неравенство |
|
|
|
||||||||||||
? |
|
|
|
|
|
||*(*) — 5 (*)|| < |
у], |
|
|
|
|
|
|||||
где х (t) и с (^)—решения |
систем |
(II.1.4) |
и (II.1.6) |
соответственно, |
|||||||||||||
удовлетворяющие условию х (0) = 5 (0). |
|
|
|
Х 0 (х) |
|
||||||||||||
• Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заметим, |
что |
функция |
также |
|||||||||||||
удовлетворяет условию Липшица. Действительно, пусть х' |
и х " — |
||||||||||||||||
любые точки из области D. Тогда для |
любого о > 0 можно ука |
||||||||||||||||
зать такие |
числа |
V и Т", |
что при Т > |
max] Т', |
Т") будут |
выпол |
|||||||||||
няться неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
]_ |
т |
|
|
|
|
|
< _ L , т> г, |
|
|
|||||
|
|
|
оI |
X ( t , |
x ' ) d t - X 6 (x') |
|
|
||||||||||
|
|
|
Т |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
< |
J _ t т>Т". |
|
|
||
|
|
- ~ j X ( t , x " ) d t - X „ (*") |
|
|
|
||||||||||||
*) |
Можно потребовать, |
чтобы на |
решении 5(t) функция X |
(5 (0 ) была |
|||||||||||||
ограничена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|*0 (*') - |
Х 0 (х") |= |
|
|
||
г |
|
Т |
|
|
|
Х 0 (х') |
(*, х') dt + - j - $ X |
(*, х') dt - |
|||
т |
|
г |
|
< |
|
т■ j x ( t , х") d t + |
- i - |
j' X (t, x") dt - |
X„(x") |
||
|
|||||
< 2 ' 4 - + 4 - ! |
i\ x ( t ,x ' ) - x (t, x") к dt < |
|
|||
< 8 + ^ |•^/— *■" |• |
|
|
|||
Так как 8 произвольно, то |
в пределе получаем |
|
|||
\\X0( x ' ) - X 0(xl\\<V-\\x'-x"\\-
Обозначим теперь через / отрезок 0 < t < L z ~ 1 и оценим на этом отрезке интеграл
I cp(t,|(x))cfx,
о
где
? (t,i(t)) = X ( t , t - ( t ) ) - X 0(?(<))•
Для этого разделим |
отрезок |
1 ш т |
равных |
частей точками |
|||||
/ |
— о t — ^ |
|
2L |
|
. |
И |
|
|
t — _А_ |
’ *2 — |
^ |
|
t — |
^ |
|
•••’ |
|||
10 |
— и» С1 — |
sn} |
I ••• > l l — |
вт 1 |
Lm — е |
||||
|
|
|
ете |
|
|
|
|
|
|
и положим Ц |
♦ i = 0, т . |
|
|
|
|
|
|||
Предположим, что t e ( t k , tk+l ) для некоторого k, 0< k < /и— 1. Имеем
t |
|
|
й—1 Г/Ц-1 |
|
|
|
\ ® |
s со) ^ |
II = |
II£ 2 |
f |
[ ? (т’ 5 (х)) “ 9 (х* ^ )]dz+ |
|
■ |
|
t |
i-0 |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ S j [с? (хД (х)) — ср (х, ^ )] dx + |
|||||
|
fe-1 ti+i |
|
|
|
|
|
+ |
s 2 |
I <p(t ' 5i ) rfx+ |
e |
f <p(x* 5* ) rfx |
||
|
t=0 |
t, |
|
|
|
tk |
|
k-\ ti+1 |
|
|
|
|
|
< £ 2 |
f |
llc?(x^ ( x) ) “ |
c?(T’ ^ ) l l cfT |
|||
|
i=0 |
it |
|
|
|
|
23
+ EJ ||? (". ? (')) - 9 (*. h ) ||* +
+
|
\)UV |
|
|
|
1' |
„ |
|
+ £ |
||
ЛJ |
j ? (-. У |
J ? 4><гИ т + |
о |
о |
^
?(*.£»)*-J? (T.^)rfT <
V
m — /4-1
/«0
|
+ |
£ |
V |
*/+1 |
|
d i |
+ *2 |
|
. 'I d i + |
|||
|
|
|
771—1 |
|
|
|
|
|
|
т - 1 |
I ?<4?<) |
|
|
|
|
/=0 |
J |
' |
|
|
|
|
/=1 |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
£ |
If4 «*)rft |
|
|
|||
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|? (<, л') - |
? |
(/, х") |< 2]* Ц-к' - |
||, |
||||||
|
w - 4 l = PW -K*i)ll = * |
j |
Х 0 (Ц о))<и < еУИ|т - ^ | ( |
|||||||||
то |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
/71-1 |
t i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||?(T4(4)-?(^Ji)ll</T< |
||||||||
|
|
|
|
s 2 |
J |
|||||||
|
|
|
|
/= о |
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-1 ti+j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< 2н-£ 2 |
f II ^(т) “ h |KT< |
|
||||||
|
|
|
|
|
/ = о t t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m - 1 |
ti + |
1 |
|
|
M L2}л |
|
|
|
|
|
< 2[i M e2 2 |
j* |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|т — tt |d i |
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
i=o |
r, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем обозначения |
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( Л 5) = |
- j - J |
[ * ( » . |
E) — |
J f 0 (6)] rfx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф0 (£, c ) = |
SUpxO |
— |
? j . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0<x<£ |
|
^ E |
J |
|
|
Ясно, что при каждом |
фиксированном |
£ e D функция Ф( /, 0 |
||||||||||
стремится |
к |
нулю при t -> оо. |
Поэтому |
при |
фиксированных /га» |
|||||||
k, i, |
\k , |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24