Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подставив tm в (2.43), получим величину максималь­ ного перемещения:

Уп

2Р„ Ѳ2

/'1_ Р о ' ' 3

■ (2.45)

3т

 

 

 

 

Отсюда коэффициент динамичности нагрузки равен:

R

 

3 /

“ Р0о

'

V

3 Ут'П

(2.46)

2Р0 Ѳ2

Для случая жесткопластической системы с упрочнением имеем

R (У) = Ro + су,

(2.47)

и уравнение движения системы принимает вид

 

d2 у

 

 

т- dt2

■cy — P(t) — Д0-

(2.48)

При постоянной во времени нагрузке Р (/) =

Р0 реше­

ние уравнения (2.48) запишется так:

 

У =^2— ^ ( 1

—cosW),

 

где

 

 

* = 1 / — ■

 

I

ПІ

 

Максимальное значение прогиба

 

ym = 2(P0- R o)^2P_o(l

(2.49)

 

 

Отсюда

1

 

Ro

 

1 + 0 ,5 —

Уо

где

R Уо — с

§ 8. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ К РАСЧЕТУ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Приближенный динамический расчет'конструкций как систем'с одной или несколькими степенями свободы сво­ дится к решению дифференциальных уравнений 2-го по­ рядка. Рассмотрим два наиболее распространенных ме­ тода получения., этих уравнений.

66

а) Метод Бубнова — Галеркина

Этот метод, предложенный И. Г. Бубновым и развитый Б. Г. Галеркиным, применяется при решении краевых за­ дач дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно широко он применяется в тех случаях, когда уравнение нельзя решить методом Фурье (переменные не разделяются) или если собственные функции не выража­ ются в элементарных функциях [37, 38].

Согласно методу Бубнова—Галеркина,

решение диффе­

ренциального уравнения в частных производных

L (w) = 0,

(2.50)

где L — дифференциальный оператор; w (х, t) — функция, удовлетворяющая некоторым граничным и начальным усло­ виям, представляется в виде

w(x,t)=.^iyi (t)Xi (x).

(2.51)

Здесь Х і (х) •— известные функции («координатные»), ко­ торые выбираются так, чтобы они удовлетворяли всем гра­ ничным условиям задачи и их набор был достаточно «пол­ ным» в том смысле, что они позволяют представить в виде рядов достаточно широкий класс функций. Аналитически условие полноты системы функций X; (х) выражается так: если для некоторой функции ф(л:) при всех Х і ( х ) выпол­ няются равенства

I

j X t (х) ф (х) dx =_0,

(2.52)

о

то

ф (х) = 0.

При практическом использовании метода в выражении (2.51) учитывается конечное, часто небольшое число чле­ нов.

Подставим (2.51) в исходное уравнение и потребуем выполнения системы равенств

L S

Уі ({)х і (х) Xj (x) dx —0,

(2.53)

і =

I

 

которые благодаря полноте системы Xj (х) обеспечивают удовлетворение уравнения (2.50) с тем большей точностью,

3*

67

чем больше взято членов в сумме (2.51). Равенства приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функции Уі (t).

Применим метод Бубнова—Галер кина к решению урав­ нения движения упругой балки, имеющему вид

(2.54)

При решении ограничимся только одним членом ряда в вы­

ражении (2.51).

 

 

в

виде

 

Представим нагрузку

 

р

(х,

і)

=

pf *(t) Д (х),

(2.55)

где р — некоторое

фиксированное значение

нагрузки.

Для прогиба балки примем выражение

 

w (х,

t) =

у (/) Х с (х),

(2.56)

где функции Х с (х)

(форма прогибов) равна перемещениям

балки от действия статической нагрузки интенсивностью р/х (х). Такой прием возможен, поскольку, как показывает анализ точных решений, проведенный в [53], изменение по пролету усилий и прогибов приблизительно подобно их изменению от статического действия нагрузки, причем это подобие выполняется в течение большого промежутка вре­ мени, включающего моменты достижения конструкцией наи­

больший усилий и перемещений.

уравнения

Функцию Хс (х) определяем из решения

EJXlv (х)^ pfх{х)

(2.57)

ссоответствующими граничными условиями. Представим Х с (х) в виде

Х0{х) = §-Х{х),

w{x, t) = y{t)-р-гХ{х).

(2.58)

68

Подставляяусловие [ L [w(2.58){х, t)] вX

(хуравнение) dx = 0, находим(2.54) и

используя

о

 

 

 

 

У (0 + “ 2у (0 = ®2/*(0.

(2-59)

где

I

 

(х) dx

 

со? = —

 

 

.5j" Д

(х) X

 

 

 

 

 

m

--------- ;-------

(2.60)

I

 

 

 

 

jо X 2 (x) dx

 

Уравнение (2.59) удобно использовать в безразмерном

виде. Если положить

 

 

 

 

то

s =

со*2", .

(2.61)

 

 

 

 

$+»=/* Ш-

(2'62)

Рассмотрим несколько примеров. Распределение нагруз­ ки по пролету балки примем равномерным, т. е. Д (х) =1, а функцию прогибой X (х) найдем из уравнения

 

 

 

ХѴІ (х) = 1.

 

(2.63)

 

Для балки с шарнирно-опертыми

концами при х = 0

и

X = I

X = 0,

X" = 0.

Из (2.63)

находим

 

 

 

в

д = т И

т - ' * І + т

) ;

<2'64)

из

(2.60)

имеем

 

 

 

 

Для балки с жесткозащемленными концами при х — 0 и X = I X = 0, X' — 0. В этом случае получим

*(*)=іИіг“/;с8+іт);

(2-66)

6Т/І4

л Г Ё і _ 22,45 I

/~ E J

( 2 6 7 )

I*

V т ~ I* V

т '

' '

69

Смотрите также файлы