Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Для балки с упругозащемленными концами при х = О

М — —k ^ ; при X = I М = k ^ , где k — коэффициент

жесткости заделки. Отсюда имеем граничные условия для

где

Случай k* = 0 соответствует шарнирным опорам; k* =

=oo — жесткозащемленным опорам. Изгибающий момент равен:

М (X, 0 = - у (t)р + ■ (2.70)

Таким образом, динамический расчет упругих конструк­ ций сводится к решению уравнения (2.62), зависимость которого от свойств конструкции проявляется только в ве­ личине частоты колебания со*. В рассмотренных примерах

в строгой постановке. Это объясняется тем, что статическая форма прогибов X (х) близка к собственной форме колеба­ ния балки с низшей частотой. Указанное обстоятельство можно использовать при приближенных динамических рас­ четах довольно широкого класса конструкций. При этом перемещения и усилия находятся умножением их некоторых статических значений на функцию времени у (t), определяе­ мую из уравнения (2.62). Значение частоты со* можно принять равным частоте собственных колебаний, для ко­

70

торой форма колебания подобна статической форме пере­ мещения конструкции от нагрузки, распределенной по поверхности конструкции аналогично динамической. Значения частот собственных колебаний можно принимать по имеющимся литературным и справочным данным.

Далее рассмотрим расчет тонкой прямоугольной пла­ стинки под действием кратковременной нагрузки, вызываю­ щей большие упругие прогибы. В таких пластинках под действием поперечной нагрузки наряду с чисто изгибными напряжениями возникают мембранные напряжения.

Напряжения от изгиба и мембранные сравнимы по ве­ личине, если отношение стрелы прогиба wm пластинки к ее

^> 5, то напряжениями изгиба можно пренебречь и рас­

смотреть пластинку как гибкую мембрану [8]. Такие пла­ стинки относятся к геометрически нелинейным, в которых изменение положения точек тела в результате деформиро­ вания влияет на напряженное состояние.

Будем считать, что один из размеров пластинки значи­ тельно превышает другой. Если условия закрепления пла­ стинки вдоль большей стороны одинаковы, то участки пла­ стинки, достаточно удаленные от короткого края, будут изгибаться по цилиндрической поверхности. Тогда задача сведется к расчету балки-полоски единичной ширины с про­ летом I, равным длине короткой стороны пластинки.

Уравнение колебания гибкой балки-полоски имеет вид1

продольная сила, вызываемая удлинением среднего волокна;

При выводе уравнения (2.71) были опущены продоль­ ные силы инерции т на Это допущение приводит к тому, что продольная сила не зависит от координаты х и может

71

Здесь и (I, t) и и (0, /) — горизонтальны^ перемещения кон­ цов полоски.

Выражение для изгибающего момента имеет вид

(2.73)

дх2

Нагрузку примем равномерно распределенной. Закреп­ ления концов полоски будем считать упругозащемленными и упругоподатливьши в горизонтальном направлении. Гра­ ничные условия можно записать:

где k n с — коэффициенты жесткости.

Тогда выражение для продольной силы примет вид

(2.75)

2Е8

где £ == 1 Н— — . При несмещаемых концах полоски с = оо

и I = 1.

Найдем приближенное решение уравнения (2.71) мето­ дом Бубнова—Галеркина. Выражение для прогиба примем

W(x,t) = y ( t (2.76)

*І7

где X (X) определяется по формуле (2.68) , т. е. является формой статического прогиба балки без учета удлинения среднего волокна. Из (2.68) имеем

(2.77)

где

Sl=i ( Y,+ 0’5YH r ) ;

72

(2.76) в уравнение (2.71) и после вычислений, согласно

Величина со* равна частоте колебания балки при отсутст­ вии мембранных, напряжений.

Уравнение (2.79) запишем в безразмерном виде:

73

ки от действия нагрузки интенсивностью р (без учета цепных усилий).

Нелинейные свойства конструкции, обусловленные воз­ никновением мембранных напряжений, проявились в не­

при жестком защемлении

6)Вариационный метод

Ввариационных методах расчета исходят не из диффе­ ренциальных уравнений движения конструкции, а непо­ средственно из вариационных принципов, выражающих общие законы механики. Например, движение механиче­ ских систем, на которые действуют потенциальные силы, подчиняется принципу Гамильтона. Согласно этому прин-.

принимает стационарное значение. Здесь Т — кинетиче­ ская энергия системы; U — потенциальная энергия; W — потенциал внешней нагрузки.

Перемещение системы ищется в виде ряда (2.52) по полной системе координатных функций. Эти функции

74

могут удовлетворять не всем граничным условиям, а толь­ ко кинематическим, т. е. таким, которые ограничивают смещение системы

где X h (X) — известные функции, удовлетворяющие гра­ ничным условиям задачи (координатные функции).

Так как движение системы определяется функциями yh (t), то их называют обобщенными координатами. Ве­ личины энергий, входящие в (2.83), являются функциями обобщенных координат, и условия стационарности инте­ грала / приводят к уравнениям Лагранжа 2-го рода [35, , 431:

Рассмотрим однопролетную балку пролетом /, на кото­ рую действует динамическая нагрузка интенсивностью р (X, t). Начало осей координат расположим в середине балки. Прогиб обозначим w (х , t). При малых величинах прогибов выражение для кривизны имеет вид

Предполагая, что для каждого сечения балки известна зависимость между изгибающим моментом и кривизной

м=м(т)-

найдем выражение для кинетической и потенциальной энергией балки:

кинетическая энергия

75