Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Потенциал внешней нагрузки

2

і_

2

Пусть зависимость изгибающего момента от кривизны представлена многочленом нечетной степени:

N N

Здесь коэффициенты Вп могут быть как постоянными чис­ лами, если рассматривается балка постоянной по пролету жесткости, так и функциями от х для балки переменной жесткости.

Из (2.86), (2.88) и (2.90) получим

струкции, является довольно приближенным, так как в дей­ ствительности форма прогибов может существенно меняться. Это особенно происходит в случае, когда зависимость

чет позволяет получить только приближенные значения прогибов.

Найдем выражение для скорости и кривизны сечения балки:

76

Подставляя (2.87), (2.89) и (2.91) в (2.85) и учитывая (2.93), получаем уравнение движения балки:

где

К(*Т + 1dx\

(2.95)

öx= J X2 dx', Px— ^pXdx.

Найдем величины коэффициентов для шарнирно-опер­ той балки постоянной жесткости по пролету, на которую действует равномерно распределенная нагрузка интенсив­ ностью р/ (t). В качестве координатной функции в (2.92)

Если диаграмма деформаций материала балки подчи­ няется закону (1.24): а = Е^г — £ 3е3, то зависимость

77

Пусть нагрузка р (t) постоянна во времени р (t) = р. В этом случае первый интеграл уравнения (2.96) при нуле­

Отсюда получаем уравнение для определения максималь­ ного прогиба балки:

Если уравнение (2.98) не имеет положительных кор­ ней, то это свидетельствует о разрушении балки.

§ 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Дифференциальные уравнения движения системе одной степенью свободы являются в общем случае нелинейными. В рассматриваемых задачах расчета конструкций на дей­ ствие кратковременных динамических нагрузок решение этих уравнений в большинстве случаев достаточно иметь лишь в промежутке времени от момента приложения на­ грузки (t = 0) до момента tm достижения перемещениями конструкции первого максимума.

. Если нагрузка является внезапно приложенной и по­ стоянной во времени, то максимальный прогиб легко на­ ходимиз алгебраического уравнения вида (2.98), полу­ чаемого из первого интеграла уравнения. Для нагрузок, зависящих от времени, аналитическое решение уравнения

78

движения можно найти лишь в случае кусочно-линейной аппроксимации восстанавливающей силы.

Запишем уравнение движения конструкции в виде

где у — максимальное значение правой части уравнения; / (t) — функция, характеризующая закон изменения во времени динамической нагрузки.

Общих аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений такого вида в настоящее время не существует. Наиболее разработанными являются методы, позволяющие находить частные периодические решения, причем математическое обоснование эти методы получили лишь для уравнений с «малой нелинейностью» [36]. .Основной прием в данном случае-— представление решения в виде ряда по степеням малого параметра, от которого зависит нелинейность уравнения.

Аналитическое решение уравнения вида (2.99) в на­ чальном промежутке времен« можно получить прибли­ женно с использованием метода Бубнова—Галеркина [36] или путем применения степенных рядов. Рассмотрим от­ дельно эти методы.

а) Метод Бубнова — Галеркина

Начальные условия для уравнения (2.99) считаем ну­

левыми, т. е. при t = 0 у = 0, у = 0. Представим при­ ближенно функцию у (/) в виде

Подставим (2.100) в уравнение (2.99) и найдем

Ф = у + R (у) — yf (t) — heо2 cos соt +

+R [h (1 — cos co/)l — yf (t).

Ввыражении (2.100) в качестве координатных функций приняты постоянная величина и cos co^, поэтому, соглас­

79

но методу Бубнова — Галер кина, следует потребовать удовлетворения условий:

ЯЯ

Отсюда получаем два алгебраических (нелинейных) урав­ нения для определения величин Іі и со.

Примем для примера

Использовав обычные тригонометрические тождества, по­ лучим

о

Обычно этот метод позволяет находить лишь приближен­ ные решения, точность которых может быть невысокой.

б] Метод решения уравнений путем разложения решения в степенной ряд по /

Одним из методов, позволяющих получить в аналити­ ческом виде решение большого класса дифференциальных уравнений, является метод разложения решения в степен­ ной ряд по независимому параметру /, т. е. в ряд Тейлора. Этот метод имеет наибольшее практическое значение для нахождения решений при малых значениях /.

Искомая функция представляется в виде ряда

80