Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

шарниров пластичности) при действии динамической и статической нагрузок могут ие совпасть.

Расчеты показывают, что наибольшее изменение в рас­ пределении нагрузки силы инерции оказывают в начале движения конструкции. На рис. 20 приведены эпюры из­ гибающих моментов в балке в различные моменты времени при действии равномерно распределенной динамической нагрузки [53]. Из графиков видно, что в начальный период времени наибольшие изгибающие моменты возникают не посредине пролета балки, а вблизи его четвертей. Величины этих изгибающих моментов значительно меньше величины момента, который возникает в дальнейшем посредине про­ лета. Однако в случае, когда действующая на балку дина­ мическая нагрузка будет значительно превышать величи­ ну статической нагрузки, вызывающей предельный изги­ бающий момент, возможно появление шарниров пластич­ ности вблизи четвертей пролета раньше, чем посредине про­ лета. Такие схемы разрушения в балках даже при действии кратковременных нагрузок типа мгновенного импульса очень редки, что объясняется кратковременностью действия максимальных величин изгибающих моментов вблизи чет­ вертей пролета и другими причинами. В большинстве слу­ чаев расположение мест образования шарниров пластич­ ности в конструкциях при действии статической и динами­ ческой нагрузок совпадает. На рис. 21 и 22 изображены свободно опертые и защемленные на опорах железобетонные балки, испытанные на действие равномерно распределен­ ных кратковременных нагрузок, полученных в результате взрыва тротиловых зарядов. В свободно опертых балках шарниры пластичности образовывались посредине пролета, а в защемленных т— на опорах и посредине пролета, т. е. так же, как и при действии статических нагрузок.

При выборе расчетной схемы во многих случаях можно расчленять сооружение на отдельные простейшие кон­ структивные элементы (балки, плиты и т. п.) путем введе­ ния упругих и пластических связей — шарниров пластич­ ности. Места пластических шарниров выбирают путем рас­ чета сооружения на статически приложенную кратковре­ менную нагрузку. Для каждого из .отдельных элементов производится динамический расчет. В целях более точного расчета следует учесть взаимное влияние элементов; по­ датливость фундаментов, стен, колонн. При этом вслед­ ствие существенного усложнения задачи возникает необ­ ходимость в использовании при расчетах ЭВМ.

52

§ 6. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Инженерные конструкции (балки, рамы, плиты) с точ­ ки зрения динамики сооружений представляют собой си­ стемы с бесконечным числом степеней свободы. Точный динамический расчет обычно приводит к решениям, которые выражаются бесконечными рядами, и для получения рас­ четных величин (прогибов, моментов и т. п.) приходится за­ трачивать большой труд на суммирование рядов.

Системы с конечным числом степеней свободы и, в ча­ стности, с одной возникают в динамике сооружений обычно в результате приведения расчетной схемы конструкции к динамически более простой. Такое приведение осущест­ вляется различными методами, но принципиально резуль­ тат всех этих методов один: системы с бесконечным числом степеней свободы, какой является любое деформируемое тело, заменяется системой с конечным числом степеней свободы.

Необходимое число степеней свободы зависит от условий расчета и типа конструкции. Например, для вибрацион­ ных расчетов в резонансной стадии требуется знание ча­ стот колебаний конструкций. Чем более высокие частоты необходимы, тем больше приходится принимать степеней свободы. При расчете же конструкций на действие кратко­ временных, непериодических сил обычно требуется опреде­ лить максимальные перемещения и усилия, для чего до­ статочно знание закона движения конструкции в начальные моменты времени. На это движение существенно влияют, как правило, только низшие частоты, и поэтому в данном случае достаточно ограничиться небольшим числом степеней свободы и часто лишь одной.

S3

Методы приведения конструкции к системе с конечным числом степеней свободы можно разбить на две группы. В одной группе методов приведенная расчетная схема полу­ чается путем замены непрерывно распределенной по кон­ струкции массы одной или несколькими сосредоточенными массами. Такой прием особенно целесообразен для конструк­ ций, у которых наряду с распределенной массой имеются значительные сосредоточенные массы, например балка с прикрепленными к ней тяжелыми грузами, массивный фундамент, расположенный на грунте или виброизоляторах.

В другой группе методов ограничение числа степеней свободы конструкции осуществляется путем выбора из все­ го множества форм перемещений, определяемых дифферен­ циальным уравнением задачи,- нескольких форм, играющих определяющую роль в рассматриваемом процессе. Особен- *но целесообразен этот метод для расчета на действие крат­ ковременных нагрузок, когда требуется определить усилия в конструкциях.

При расчете конструкций весьма эффективно исполь­ зуются коэффициенты динамичности, позволяющие свести динамический расчет к статическому путем замены динами­ ческой нагрузки некоторой эквивалентной статической. Различают два коэффициента динамичности: коэффициент ди­ намичности перемещения и нагрузки.

Коэффициент динамичности перемещения ku определяет­ ся как отношение максимального перемещения системы при динамической нагрузке -ут к перемещению системы г/ст, вызванному статической нагрузкой, равной по величине максимальному значению динамической нагрузки:

Коэффициент динамичности нагрузки kK определяется как отношение величины статической нагрузки РСТ к мак­ симальному значению динамической Ртп, которые вызывают в системе одни и те же усилия (перемещения):

Для линейно-деформируемых систем оба коэффициента динамичности равны kn = kn. Для нелинейно-деформируе- мых систем (в которых сила и перемещение связаны нели­ нейной зависимостью) величины этих коэффициентов Не равны kB=f=kn . При этом для систем с «жесткой» восста­

54

навливающей силой kn > ka, а для систем с «мягкой» восстанавливающей силой kH< kn.

При расчете нелинейно-деформируемых конструкций более удобным является коэффициент динамичности по нагрузке kiv По его значению определяется величина экви­ валентной статической нагрузки по формуле

Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде сосредоточенной массы т, прикрепленной деформируемой связью к неподвижной опоре (рис. 23). Для усилия в свя-

Рис. 23. Упругопластическая система с одной степенью сво­ боды

зи R, называемого восстанавливающей силой, в дальней­ шем примем законы деформирования, наиболее часто встре­ чающиеся в практике.

Уравнение движения изображенной на рис. 23 системы, подверженной действию внешней динамической нагрузки Р (0, получается на основании принципа Даламбера из

а) Система с произвольной восстанавливающей силой

Рассмотрим движение системы с одной степенью свобо­ ды, у которой восстанавливающая сила при нагрузке, т. е. при росте перемещения, является произвольной функцией

55

R (у) перемещения у (см. рис. 23). При разгрузке предпо­ лагаем линейную зависимость R от у вида

грузке. В этом случае уравнение движения системы имеет вид:

при нагрузке

При произвольных зависимостях R (ух) и Р (t) уравне­ ние (2.4) может быть проинтегрировано лишь численными методами. В случае, когда нагрузка Р (/) является мгновен­ но приложенной постоянной во времени, т. е. Р (/) = Р = = const,, уравнение (2.4) интегрируется в квадратурах. Учитывая, что

получим

будем иметь

РУі+Di—J R (у) dy

56

Постоянные интегрирования Dx и D2 найдем из начальных

условий t = О, і/х = 0, = 0. Тогда из (2.6) и (2.7) полу­

чим Dx — D2 = 0. Максимальное перемещение системы,

достигаемое в момент, когда ^ = 0, определим из урав­

нения

В качестве примера примем выражение для восстанавливаю­ щей силы в виде

Найдем величины коэффициентов динамичности по форму­ лам (2.1) и (2.2). Учитывая, что

Величины kn и kH при различных значениях п приведены в табл. 2.

Из таблицы следует, что величины коэффициентов ди­ намичности существенно зависят от значения п, определяю­

57

щего характер восстанавливающей силы. При п < 1 («мягкая» восстанавливающая сила) kn > &н; при п > 1 («жесткая» восстанавливающая сила) kn < kn.

Движение системы в области разгрузки описывается уравнением (2.5) при начальных условиях:

Уравнение (2.5) является линейным, и поэтому его ре­ шение можно легко получить.

Рассмотрим движение системы, вызванное действием только мгновенного импульса величиной і. В этом случае перемещение в области нагрузки находим из уравнения

6) Система с идеальной упругопластической восстанавливающей силой

Предполагается, что восстанавливающая сила R (у) имеет вид ломаной линии (рис. 24) и состоит из двух от­ резков прямых, первый из которых (наклонный) отвечает упругой, а второй (горизонтальный) — пластической ста­ дии работы, т. е.

С

при у > — R(y) = R0 = const.

С*

* Точка над функцией означает дифференцирование по вре­ мени.

58