Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Как

известно

[65],

радиус сходимости

степенного-

ряда определяется

свойствами представляемой

функции

не только на прямой Qt,

а во всей комплексной плоскости

t* = t +

itlt

і = У — 1.

Прямая 0/ является действитель­

ной осью, ty

определяет точки мнимой оси.

УЧі*) = Уо + Уо**+-%-і*2 + :.. + - ^ і * т + ....

(2.106)

шение уравнения. Поэтому применение степенных

рядов

по t дает возможность получать решение рассматриваемого

уравнения лишь при малых значениях t,

обычно

значи­

тельно меньших величины tm, при которой у (tm) = 0.

в) Метод решения путем разложения

в степенные ряды по у

Ниже излагается метод решения нелинейных

диффе­

ренциальных уравнений второго порядка,

предложенный

Б. С. Расторгуевым. Этот метод основан на

разложении не­

которых функций в степенные ряды по искомой функции у,

радиус сходимости которых оказывается равным ее макси­

точностью максимальные деформации

конструкции.

Дальше функцию R (у) в уравнении (2.99) будем часто

представлять в виде многочлена:

R{y)= S

ahy'\

(2.107)

А =

1

Пусть

в

уравнении

(2.99)

f (t) =

1. Тогда, воспользо-

вавшись

/0

••

1

dtß

проинтегрируем

соотношением (2.6)

у =

уравнение (2.99) по у

и запишем результат в виде

У“

N

Oft

jo_

(2.108)

Ук+1 +

ft+1

2

А = 1

Отсюда видно,

что при / (t) =

1

функция

„2

является мно­

гочленом от

у.

В связи с этим можно предположить, что

существуют

функции / (t), при

которых величина будет

В

качестве независимого переменного примем

теперь у.

В

интервале времени от t = 0 до

момента tm, в

который

у

(t) достигает

первого максимума,

t является

однознач­

ной функцией

от у. Поэтому и функция / (і)

однозначно

^ у О Ш - Я І и ) ,

- <2Л11>

d fj t )

dQ _

df (t)

dt _

di

,f l1 1 ™

dy ~

dt

' d y ~

1 /2 V ? *

{ 1 }

Предположим,

что

можно выразить аналитически

й=й0=1,ф=

=

(2.115)

Выражения для й (у) и ір(у)

будем

искать в виде сте­

пенных

рядов:

'

З Д

= 1 + й;г/ + - ^ г / 2 + ....+

+

(2.116)

lb"

Ч)(т>

(2.117)

Ф(1/)=Фо+Ф;У+-^г/г+ ...+

деления фот) продифференцируем /п — 1

раз по у

уравне­

ние (2.111) и положим у = 0. Тогда

ф<0т >=

1>— R[m~ 1>=

1>—

(2.118)

— ( т — 1)! ат _!

( т > 2 ) .

Подставив (2.118)

в ряд (2.117),

получим

N

' Н у)= 'Ь + ЧУ— У

~~7Т упі+1

n £ i m+1

+?2

Q(0m-

1)

ym.

(2.119)

rn\

m—2

При

вычислении

П(0"г)

необходимо различать

случаи,

когда фо Ф 0 и

фо = 0.

Пусть фо Ф 0.

Из

(2.114)

имеем

f( l)

(2. 120)

~Z2фо

Дифференцируя последовательно уравнение (2.114), по­

лучаем

после вычислений

ß o:

1

[ß o Фо +

Ф(і)1;

(2.121)

2фо

-

1

X

2ф,

Г т — 2

(т > 2 ),

(2.122)

X 2

4 " ° П(0А+1)Фо"_1“ * +

Ф ^ - 2) (1)

к=0

где

<P(Q)=-F(Q)Fh( Q);

Ф \ Г 2) =

а г~[Ф ; Ф<°> = Ф;

£ytn — 2

У

4" ° —1;

4т )

_ п к

Iо

1)

(2.123)

(2.124) *

—

—2 "Г

—2

£2('/) = ! 1—5-)";

1—f = a“;

(2.126)

/1 — 1

Ë l ! L = —

О V

Ѳ )

‘= _ J L Q " = F(£2).

dt

Ѳ

4 '

Из (2.120), (2.123) и

(2.126) получим

Q' =

_____ '1___•

(2.127)

0T/2fo ’

1

n— 2

F'a = — ^ R Q

Ф(£2) = — ^ = - ^ - £ 2 n . (2.128)

При произвольном n получаются довольно громоздкие

выражения для Ф™- 2 . При п = 1

и п — 2 формулы зна­

чительно

упрощаются,

а

именно:

при

п =

1

Фук) (1) =

0

при всех

k

> 0;

при

п = 2

Ф(1) = —р ,

Ф{„к) (1) =

0

п р и А > 1 .

Рассмотрим теперь случаи нулевой начальной скорости,

т. е.

фо =

0. Из

выражения (2.120)

следует, что если

F (1)=^=0, то

при фо -*-0

Qo->- °о ,т. е. функции £2 (у) и ф (у)

ка у = 0 является особой точкой). Однако

в ряде случаев

может

существовать

предел

правой

части

(2.120), если

F (£2)

0 при £2 ->

1,

т. е.

когда

0 при

t ->■ 0.

Примем

f(f) = b0 +

b cos ß* ( V +

b =

1)

(2.129)

и

£2 (у) =

cos ßF

(2.130)

Тогда

= — ß sin ß^ = — ß /T ^ £ 2 '2 = F(£2),

(2.131)