Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и уравнение

(2.114) запишется так:

 

 

 

 

 

Q' =

 

 

— Qa

 

(2.132)

 

 

Ѵг і/1■ф

 

 

При у =

 

 

 

 

 

0 под корнем имеем неопределенность вида —.

Раскрыв ее:

1—Q2

у-* о

—2QS3'

 

•фо

 

,.

 

 

lim -------- = — lim-

 

 

2Qg

 

у -* О

Ф

 

 

Ф'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wo—

 

4>o •

 

 

(2.133)

 

 

 

 

 

 

Проведя

дальнейшие

вычисления,

найдем

 

Q ; =

«О

(Р2+Фо);

 

 

 

 

 

З'фо

 

 

 

 

 

 

 

 

- [ й ; ф0” +

й ;(Р Ч -4 ф;)];

 

(2.134)

 

5Фо

 

 

 

 

 

 

QJV------- [Qo ч>£ѵ н- 5Q; 4>Ö +£>; Ф '+ э д .

 

7ф0

 

 

 

 

 

 

 

При т > 2

 

(т —З

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4 " '+1)Ц *+1)гНт - А) +

 

(2т—1J фо

 

 

 

[k=Q

 

 

 

 

+ Q i» -l)[ß * +

( « - ! ) f t] ) ,

 

где Л Г +І) определяется

по

формулам

(2.124).

 

Для коэффициентов фот)

справедливы

выражения, по­

лученные с

учетом (2.130) и

(2.131):

 

 

 

 

 

 

■Фо =

Г>

 

 

 

 

ф<т >=уШ <'7,- 1>—

 

=

 

= у6Й<0т - Ч — (т — 1)1ат-і

(іп>2).

(2.135)

Аналогично

могут быть

найдены

и

другие

функции

/ (t), при которых справедливы решения

уравнения (2.99)

в виде рядов (2.116) и (2.117). При решении уравнений из­ ложенным методом функция / (/) выбирается из условия лучшего приближения к соответствующей функции в ре­

86

шаемом уравнении. При

нулевых начальных

условиях

■фо = О.удобно принимать / (t)

вида (2.130). Положим

b0 = b = j - ;

ß = - ^ - ,

(2.136)

т. е.

 

 

 

f (0 = ~ ( 1

+

cos- p - ^ ) .

(2.137)

Тогда,/ (0) = 1, / (Ѳ*) = 0. Величина Ѳ* является вре­ менем действия условной динамической нагрузки. Это время можно найти из равенства импульсов действительной и условной нагрузок. Если 0 — время действия действите­ льной нагрузки, то

ѳ

0* = 2 $ /(Q Ä .

о

Отметим, что указанным методом можно решать урав­ нения более общего вида, чем (2.99). При этом будут из­

меняться только выражения для коэффициентов фот).

Ряд (2.116) дает зависимость между скоростью системы и ее перемещением в виде

 

 

 

y = Y*V W ).

 

(2.138)

 

Максимальный

прогиб находим из уравнения

 

 

 

 

Ф(У) = 0.

 

(2.139)

 

Ряд (2.117)

позволяет

получить

зависимость

прогиба

от

времени, которая с учетом (2.131)

и (2.136) имеет вид

 

 

 

t —— arc cos П {у).

(2.140)

 

 

 

л

 

 

 

t <

Выражения

(2.116) и

(2.117) справедливы только при

Ѳ*, т. е. пока

Q (у) не достигло

значения —1. Пусть

при некотором

значении

ух:

 

 

 

 

G

(Уі) =

—1; Ф Ы > 0.

(2.141)

Тогда движение системы продолжается после окончания действия нагрузки (2.137). При ^ > 0 * справедливо урав­ нение (2.99) при у = 0:

У + R (у) = 0,

87

первый интеграл которого имеет вид

(2.142)

2

У1

где

У\ = ШУі)>

(2.143)

Тогда максимальный прогиб вместо (2.139) удовлетворяет уравнению

(2.144)

Отметим, что если функция R (у) задана в виде много­ члена JV-й степени (2.107) ,то при расчетах достаточно учесть в рядах (2.116) и (2.117) члены вплоть до yN+l.

Рассмотрим кратко вопрос об условиях сходимости рядов (2.116) и (2.117) вплоть до максимального значения

Ут. ~ У (^тп). когда у (tm) = 0. При этом, поскольку схо­ димость степенного ряда определяется поведением пред­ ставляемой им функции в комплексной плоскости, будем считать у, ф, П комплексными переменными.

Выявим особые точки у решений системы уравнений (2.111) и (2.114). Уравнение (2.111) является линейным диф­ ференциальным уравнением, коэффициенты которого не имеют особых точек. Поэтому оно не может быть причиной возникновения особенностей у функций ф и Q, т. е. необ­ ходимо исследовать только уравнение (2.114). Из него видно, что особенность в Q .возникает прежде всего при тех

значениях у, при которых ф = 0, т. е. когда у = 0. Но вследствие нелинейной зависимости F (Q) особые точки у Q могут возникнуть и при других значениях у.

Однако проведенный анализ показывает, что решения системы уравнений (2.111) и (2.114) обладают особенностями только в тех точках, где ф {у) = 0 [при принятых выше функциях / (if)].

Таким образом, радиус сходимости рядов (2.116) и (2.117) будет равен |h | , где h — наименьший по модулю корень уравнения ф (у) = 0. Отсюда вытекает следующее общее условие сходимости: ряды (2.116) и (2.117) будут сходить­

88

ся при значениях у вплоть до первого максимума у т, если наименьшим по модулю корнем функции ф (у) является

положительное

число, которое

равно

ут. При

проверке

этого условия

сходимости полезно

рассмотреть

функции

из некоторого класса U, которым мы обозначим множество

аналитических

функций и (у),

вещественных на

действи­

тельной оси и обладающих следующими свойствами:

а) функция

и (у) положительна на

некотором отрезке

[О, е] (е > 0) положительной оси,

т. е.

 

 

и (0) >

0, и {у) > 0 при

0 <

у < е;

(2.145)

б) при всех

комплексных у

справедливо неравенство

 

и { \ у \ Х \ и ( у ) \ .

 

 

(2.146)

Здесь справа стоит модуль значения функции в некоторой точке у плоскости, слева — значение этой функции в точке действительной оси с координатой, равной модулю числа у.

У функций из класса U среди корней с наименьшими модулями обязательно имеется вещественное положитель­ ное число. Действительно, пусть и (h) = 0. Тогда из (2.146)

следует,-

что и (| h |) ^

0. Если и (| h |) <С 0, то вследствие

условия

(2.145)

и непрерывности и (у) функция и (у) об­

ращается в нуль

при

некотором 1ц, находящемся в интер­

вале (0, I h I). Если и (I h |) = 0, то | Іг| является положитель­ ным корнем и (у). Таким образом, у функций и (у) наимень­ шим по модулю корнем может быть положительное число или несколько комплексных чисел с равными модулями, среди которых обязательно имеется положительное число.

Из общего условия сходимости вытекает следующее: ряды (2.116) и (2.117) сходятся вплоть до первого макси­ мума у т, если ф (у) принадлежит классу U.

Рассмотрим еще множество У функций, вещественных на действительной оси аналитических функций ѵ (у) и удовлетворяющих при всех у неравенству, обратному

(2.146):

 

Н \у \)> \ѵ {у)\ .

(2.147)

Отметим для функций из классов U и V ряд свойств, которые позволяют получать конкретные функции из этих классов: 1) произведения функций из U (У) также принадле­ жат классу О (У); 2) сумма любого конечного числа функций

89

из V и сумма сходящегося ряда функций из V принадлежит V; 3) интеграл от ѵ (у) из класса V вида

у

 

w (у) = j V (у) dy

(2.148)

принадлежит У;

4) функции

 

Ui(y) = u(y) — v(y)

(и(у)^ѵ(у) при

0 < г /< е ) ;

 

 

и (У)

 

 

Щ (У) =■ ѵ(у)

 

принадлежат классу

U.

 

 

Используя эти свойства, установим для примера один

вид функций из класса

U. Вначале отметим, что уп (п = 1,

2, ...), и положительные числа а принадлежат одновремен­

но

классам

U и V, так

как \уп \ = \ у\п и а = \а\

при

а >

0. Из

1-го и 2-го

свойств вытекает, что сумма

схо­

дящегося степенного ряда с положительными коэффициен­ тами принадлежит классу У. Тогда на основании 4-го свой-

.ства

получим,

что функция

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

'

 

О— S

ßml/'",

(2.149)

где

 

m= 1

 

 

ßo >

0; ßm > 0

 

 

 

 

принадлежит U. Отсюда следует, что при нулевой началь­

ной

скорости,

т. е. при ф0 = 0,

сходимость

рядов (2.116)

и (2.117) вплоть до Ут обеспечивается, если

 

 

 

Ф о>0,

ф(т>< 0

( m ^ 2).

(2.150)

Эти условия выполняются, например, если функция / (t) задана в виде (2.137) и коэффициенты ак из (2.107) таковы, что

и

С і> 0 ,

ak ^ 0

(А > 2 )

 

(2.151)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß2=

<

2ai*

 

(2-152)

Действительно, фо =

У>

0.

Из (2.133)

< 0 и из (2.135)

и (2.151) фо <

0. Найдем

из (2.133) и

(2.135)

величину

ß2 +

Ч о =

ß2---- ß2

а1

ß2

а1-

- -

90

Смотрите также файлы