Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

т. е. являются произведением функций, одна из которых

зависит

только

от

времени

t,

а другая — только от х.

Функция

X (X) называется

формой свободных

колебаний

. или собственной

функцией.

 

 

 

Любое решение уравнения (3.9) представляется в виде

бесконечного ряда:

 

 

 

 

 

 

 

 

П— со

 

 

 

У(х >t) =

и

Tn (t)Xn(x).

(3.11)

 

 

 

/1=1

 

 

Собственные функции находятся из решений однород­

ного уравнения

движения

 

балки:

 

 

 

 

B JL L + т д^ - = 0.

(3.12)

 

 

 

дх*

 

 

dt2

 

Подставляя (3.10) в (3.12) и разделяя переменные, полу­

чаем два уравнения для функций Т (t) и X (х):

 

 

 

 

Г +

со2 7 = 0;

(3.13)

 

 

 

ХІѴ — №Х = 0,

(3.14)

где со — частота

собственных колебаний балки,

связанная

с собственным числом X зависимостью

 

 

 

 

со =

Л2 л / ~ J L t

 

 

 

 

 

 

V

m

 

Общие решения

уравнений

(3.13) и (3.14)

имеют вид

 

Т (t) =

а sin (£>t + b cos со/;

(3.15)

X (x) =

А sin Kx +

В cos Хх -Ь С sh Хх +

 

 

 

+ DchXx.

(3.16)

Рассмотрение граничных условийпозволяет с помощью выражения (3.16) найти собственные функции и получить уравнения для определения собственных чисел X.

Собственные функции при обычных типах опорных за­ креплений балок (шарнирные, защемленные и др.) обладают двумя важными свойствами [33]:

1) свойством ортогональности, т. е.

I

 

j Х п (х) Xm (х) dx = 0 при п =ё-т,

(3.17)-

о

 

где I — пролет балки;

4 Н. Н. Попов, ІЗ. С. Расторгуев

97

2)

свойством полноты,

т.

е. произвольная функция

Ф (х),

которая

является

формой прогибов балки при тех

же граничных

условиях, что

и собственные функции, мо­

жет быть разложена в

абсолютно и равномерно сходящий­

ся ряд по собственным

функциям,

при этом

 

 

 

 

СО

ahX h{x),

 

 

 

ф (*)=

 

2

(3.18)

где

 

 

к=1

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Ф (*) Х к (X) dx

 

 

=

о

 

 

•

 

 

 

]----------------

 

 

[ Х% (x)dx b

С помощью собственных функций можно получить реше­ ние неоднородного уравнения (3.9) в виде ряда (3.11). Подставляя (3.11) в (3.9) и учитывая (3.14), получаем

2

[ ^ ( 0 + “ ^ ( 0 ] * п М =

Р (X, t)

т

п—I

 

Умножив левую и правую части полученного равенства на X h (X), проинтегрировав по пролету балки и приняв во вни­ мание (3.17), найдем уравнение для определения функций

Tk(t):

Tk{ t) + m T h{t) = Ph ü)

где

] p { x , t ) X h (x)dx

Ph (0 = -

f Xk (x) dx

'o

Решение этого уравнения имеет вид

Th(f)=*Akcosa>k t + Bk sin coht + t -

Г j*/?А(тг)sin caÄ(/—x) dx.

(3.19)

mwh

Произвольные постоянные Ak и Bk находятся из на­ чальных условий. В том случае, когда действующая на бал­ ку нагрузка р (х, г1) изменяется во времени по линейному

98

закону, удобно при решении уравнения (3.9) применить прием выделения из ряда (3.11) члена, представляющего со­ бой статическое действие нагрузки. При таком решении требуется меньшее количество членов ряда при вычислении скоростей перемещения балки, изгибающих моментов и осо­ бенно поперечных сил, чем при пользовании рядом вида (3.11).Для этого представим решение уравнения (3.9) в виде суммы

У = Уі + Уг,

(3.20)

где ух — функция, удовлетворяющая уравнению статиче­ ского изгиба балки;

(3.21)

Очевидно, что ух является прогибом балки при действии нагрузки р (х, /), рассматриваемой как статическая. Под­ ставляя (3.20) в (3.9) и учитывая (3.21), получаем, что у г должен удовлетворять уравнению

г, Ö 4 (/2 1

д г Уг

В — — + /л — —

дх*

дР

д3 Ді

/0 ооч

= —т — — .

(3.22)

дР

!

Если р (х, і) изменяется во времени по линейному закону, то прогиб ух, полученный из (3.21), также будет изменяться во времени по линейному закону и

Поэтому уг удовлетворяет однородному уравнению

ßJ^j2_ _j _m

_ Q

(3.23)

дх4

дР

 

В этом случае у2 является прогибом от действия только сил инерции, и выражение для него имеет вид

У,(х, f)=

I

Tn(t)Xn {x),

(3.24)

 

n=l

 

 

 

где Х п (х)— собственные

функции уравнения

(3.12), и

Т п (t) = ап sin сünt +

bn cos a>nt.

(3.25)

Решения уравнений (3.21)

и

(3.23)- ищутся

при одних

и тех же граничных условиях, соответствующих условиям

4*

99

закрепления балки. Для удовлетворения начальным усло­

виям,

например нулевым,

при t = 0:

 

 

 

 

У\~\~Уъ —0;

 

(3.26)

 

 

 

_ Q

 

 

dt

dt

 

 

 

необходимо разложить уг

по

собственным

функциям

Х п

и из

условий (3.26); определить коэффициенты ап

и

Ьп.

В качестве примеров рассмотрим расчет в упругой ста­

дии шарнирно-опертой и

защемленной на

опорах

балок.

§ 11. РАСЧЕТ ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ БАЛКИ В УПРУГОЙ СТАДИИ

Пусть на шарнирно-опертую балку пролетом I дейст­ вует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью

р (t) — р (і — -gj . Решение уравнения движения находим

путем выделения члена, учитывающего статическое дейст­ вие нагрузки. Граничные условия следующие:

при

X---Q и x - l

y1= y2 ■=0;

(3.27)

d2y 1 _

d2y2

_ Q

öx3

dx-

 

 

Решение уравнения (3.21)

при

этих условиях

имеет вид

Собственные'функции и частоты собственных колебаний для свободно опертой балки, полученные из (3.16) с учетом усло­ вий (3.27), следующие [56, 72]:

 

(3.29)

Выражение

для y2 имеет вид

 

с о

уг —

2 (a„sincD„ H-ö„cosco„ fl sin — x. (3.30)

100

Смотрите также файлы