Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

мации. Довольно просто таким методом можно исследовать работу конструкций из однородного материала, напряжен­ ное состояние которых может рассматриваться как одно­ осное (продольные деформации колонн, вант и т. п.).

Распространение точного метода на расчет конструк­ ций, испытывающих более сложное напряженное со­ стояние, например изгиб, приводит к большим принци­ пиальным и математическим трудностям. Эти трудности вызваны изменением скорости деформации по высоте попе­ речного сечения конструкции, необходимостью учета дви­ жения пластических зон вдоль конструкции, появлением сложного напряженного состояния, для которого отсут­ ствуют исходные зависимости, и т. п.

Влияние скорости деформирования во многих случаях может учитываться приближенным способом, - который основан на том, что общий характер диаграмм деформаций наиболее употребляемых материалов при медленном и быст­ ром нагружениях в основном сохраняется. Поэтому при расчете на динамическую нагрузку используется диаграмма деформации материала, аналогичная статической, но с из­ мененными основными параметрами, например с повышен­ ным пределом текучести для стали и повышенным пределом прочности для бетона.

Величины повышения динамических напряжений опре­ деляются приближенно по величине скорости деформирова­ ния с использованием существующих статических зависи­ мостей и экспериментальных данных.

При установлении расчетных диаграмм а—е обычно ис­ ходят из упрощенных диаграмм работы материала, которые достаточно полно характеризуют свойства материала и могут быть представлены простыми математическими выражени­ ями. Вид упрощенной диаграммы определяется тем, к какой группе материалов (в зависимости от действительной диа­ граммы деформации) можно его отнести.

Для материалов первой группы (мягкая сталь) расчетная диаграмма деформации обычно представляется в виде упругопластической или жесткопластической диаграммы с упрочнением (рис. 8, б, г) или без упрочнения (рис. 8, а, в). В настоящее время наибольшее применение нашли диаграм­ мы пластических тел без упрочнения (идеально пластические тела), т. е. тел, диаграммы деформаций которых на пласти­ ческом участке изображаются горизонтальными прямыми (рис. 8, а, в). При этом диаграмма идеального жесткопласти­ ческого тела^(рис. 8, в), в которой пренебрегают упругими

22

Ь) б

So

JI. £

®o

Рис. 8. Расчетные диаграммы деформаций для материалов 1-й группы

деформациями, дает достоверные результаты лишь при силь­ но развитых пластических деформациях.

Расчетные диаграммы деформации для материалов второй группы представляются в виде плавных кривых (рис. 9, а), аналитически выражаемых степенной функцией, много­ членом и т. п., или в виде ломаных (рис. 9, б). Однако такие расчетные диаграммы обычно приводят к довольно громоздким вычислениям, вследствие чего до настоящего времени они не нашли широкого применения.

Для хрупких материалов расчетная диаграмма представ­ ляется È виде двух наклонных отрезков прямых (рис. 10), из которых второй отрезок соответствует стадии разру­ шения материала.

От расчетных диаграмм деформаций материала необходи­ мо переходить к расчетным зависимостям между усилиями и характерными линейными или угловыми перемещениями, которые можно называть диаграммами деформирования кон­ струкции. Эти диаграммы будут зависеть от формы попереч­ ного сечения конструкции, напряженного состояния и т. п.

Для изгибаемых балочных конструкций диаграммой де­ формирования является зависимость изгибающего момента от кривизны изогнутой оси балки. Рассмотрим балку пря­ моугольного поперечного сечения шириной b и высотой h, состоящую из однородного материала. На основе закона плоских сечений, являющегося геометрической гипотезой,

23

не связанной со свойствами материала [42], можно вывести следующую известную зависимость между деформацией удлинения е продольного волокна балки и кривизной ее

1

оси к = —:

Р

(1.17)

где z — расстояние от нейтральной оси до рассматривае­ мого волокна балки. Положение нейтральной оси опреде­ ляется из условия равенства нулю продольной силы в сече­ нии балки.

Пусть для материала балки зависимость между напря- • жениями и деформациями одинакова как для сжатия, так и для растяжения, т. е. .

В этом случае нейтральная ось делит сечение пополам. Положение оси не изменяется в процессе деформирования. Вычислив изгибающий момент в поперечном сечении балки, получим зависимость изгибающего момента от кривизны:

М) также будет многочленом:

h_

где ■

Bh

E h bhk+2

(,k+ 2) 2*+1

Пусть диаграмма материала а (е) подчиняется различ­ ным законам при сжатии и растяжении и может быть пред-

24

Положение нейтральной оси будет определяться из урав­

нения

/і—Л, m

= 2 ' J j ^ ~ k [(Ä - Ai)é+ 1- ( - Аі)4+Ч = 0, (1.22)

где hx — расстояние от нейтральной оси до нижнего волокна балки.

Из (1.22) следует, что величина hlt определяющая поло­ жение нейтральной оси, зависит от величины кривизны 1/р, т. е. будет перемещаться по высоте сечения балки в про­ цессе ее деформирования. В этом случае зависимость изги­ бающего момента от кривизны следующая:

Іі— lit т т

Коэффициенты Bh зависят от величины кривизны 1/р, так как hx зависит от 1/р, и поэтому выражение (1.23) не является многочленом.

Приведем два примера применения полученных зависи­ мостей. Вначале рассмотрим случай, когда диаграмма де­ формаций материала изображается кубической параболой (рис. 11, а):

где Elt Е 3— постоянные коэффициенты.

Выразим величину предельного напряжения сгпр и вели­ чину соответствующей ему деформации епр через коэффици­ енты Еі, Е 3. Деформация епр находится из уравнения

— = Д 1- З Д 3е2 = 0. de

25

Рис. 11. Расчетные зависимости для балки при симметричной диа­ грамме деформаций

Зависимость изгибающего момента от кривизны найдем из (1.20):

Кривизну, соответствующую предельной величине изги­ бающего момента, получим из уравнения

26

Тогда

Определив М пр и ипр, представим зависимость изгибающего момента от кривизны в следующем виде:

Эта зависимость графически изображена на рис. 11, б и име­ ет вид, аналогичный диаграмме деформаций материала.

Построим эпюры напряжений в сечении балки при раз­ личных значениях кривизны к — ккаѵ. Для этого запишем зависимость (1,17) в виде

и из (1.24) получим выражение для напряжений в отно­ сительных величинах:

— ■= 3’,85 [/га— 2,22 {ka)»], -

Önp

где

Из рассмотрения эпюр, изображенных на рис. 11, в, следует, что распределение напряжений по высоте балки из­ меняется с ростом кривизны. При этом, когда в наиболее удаленных волокнах балки напряжения достигают предель­

ной величины (k = —— = 0,75), изгибающий момент еще не

Ипр

достигает своего предельного значения. С увеличением кри­ визны балки волокна, в которых напряжения имели пре­ дельную величину, смещаются к нейтральной оси, при этом напряжения в крайних волокнах уменьшаются. При М — = Л4пр, k — 1 предельные напряжения будут находиться на расстоянии 0,4/г от нейтральной оси. При /г = 1,25 на­ пряжения в крайних волокнах равны нулю, и при дальней­ шем росте кривизны начнется разрушение материала бал­ ки.

27