Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ

РЯДЫ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

49

где т) =

(1 — Я2 )2

min (1/3, 1/С),

a

v — произвольное

нату­

ральное

число.

В частности,

если

и,,

«„, . . .

—век­

торы из

Н, а г{,

...,

е„, . . .

— последовательность

Раде-

махера,

то

Р(Цв,и1 + . . . + e v « v | | >

> Я (|| щ |Р +

. . .

+ 1 | « v

IP)"2) >

у (1 -

Я2 )2 .

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

случайную

вели­

чину X = || Xi +

. . . +

XJI 2

и

применим

неравенство

I I

(см. стр.

19) в форме

р (х >

(X)) > (

1 -

я2 )2

f i g j - ;

Имеем

g(X)

=

V(X,)

+

...

+

V(XV),

&(х2)=

2

&((Хп„

ХпМХъ,

Хпд).

Если одно из

П/ отлично от других, то

#((*„„

ХПг){ХПз,

*„,)) =

0.

Следовательно,

<8 (X2) = 2 ё

(|| Хп

П + 2

1 <

2

Re Ш ((Хп, Xmf)

+

л=1

n < m < v

+

ar (I

* „ )

I2) +

<r (II х„ |р) s

(||

z m |p))

<

< C 2 F 2

( Z „ ) +

6

2

v{x„)V(xm)<

n=l

1 <

n < m < v

< s u P ( 3 , o ( i

v w ) ,

откуда вытекает неравенство (1).

Мы уже отмечали,

что неравенство (2) играет фун­

даментальную

роль

в

работе Пэли и Зигмунда. Нера­

венства

(1) и (2) будем называть неравенствами Пэли —

Зигмунда. Они имеют несколько приложений.

Здесь

мы рассмотрим лишь проблему ограниченности для

ряда

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

51

Для любого

п, такого, что

ю е= Еп,

включение со е= Env

имеет место

для бесконечно

многих

v и поэтому

л-2 2

almV{Xm)<b\

m=l

я2

2

^ (*,„)< &2

т=1

и

доказательство закончено.

Согласно

закону нуля

и единицы,

отсюда

вытекает,

оо

в

частности,

следующее:

если

2 I Iи

п II2 =

0 0 .

то

ряд

Радемахера

со

S-неограничен

(т. е. не

является

2 ± w n п- н-

i

В

качестве типичного

приложе-

п. н. S-ограниченным).

оо

ния этого утверждения

получаем: если 2 l l " n l l 2 = 0 0

и

если I

I

°°

II

2

±

гпип

= оо

п. н.

Это следует

I

1

II

Г п

/ I (метод

из

теоремы

4,

положить

ЙП ( 7 1 =

ГШ ,

суммирования

Пуассона).

оо

..., Un,

• • • и исследуем ряд 2 Un-

Мы уже знаем, что

1

оо

оо

условие

2 %> (Un) < 0 0 достаточно

для 2 Un < оо п. н.

1

1

является необходимым.

Например, если Un = 0 с вероят­

ностью 1 — 2~" и Un

= 2n с вероятностью 2~п, то