Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

39

Но это условие эквивалентно сходимости п. н. ряда

0 0

S е Л " л (теорема 1).

i

В качестве приложения теоремы 5 докажем следую­ щий результат.

Т е о р е м а 6.

В комплексном

банаховом

простран­

стве рассмотрим

случайные ряды

 

 

оооо

1 1

где

E u

гп, ...—последовательность

 

Радемахера,

a a>i, со2> •••» ш п> ••• —последовательность

Штейнгауза.

Тогда

если

один

из этих рядов

п. н. сходится (или

огра­

ничен), то другой

также п. н. сходится

(или

ограничен).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

— вероятностное про­

странство,

на котором

определены

случайные

вели­

чины е„, a Q2 — вероятностное пространство величин wn. Будем рассматривать ряд

2 е / ' в » « л

(29)

i

 

как случайный ряд на произведении пространств Q,

и Q2, т. е. на пространстве Q{ X Q2 . Так как е„е2 я г а > л — независимые случайные величины, равномерно распре­ деленные на окружности, то ряд (29) подобен ряду

ЪепШ*ип.

1

оо

Предположим, что ряд 2 е А п - н - сходится. Со-

гласно теореме 5, ряд (29) сходится п. н. (Q,), какова бы ни была последовательность О], со2 , соп, . . . . По­ этому ряд (29) сходится п. н. (Qx X ^ 2 ) . Следовательно,

оо

ряд 2 e2nle>nun п. н. сходится. То же самое справедливо при замене сходимости ограниченностью.

40 ГЛАВА it

Обратно,

предположим, что ряд ^еШа,1ип

п. н. схо-

дится. Тогда

ряд (29)

сходится п. н. (Qj X й2 ). Выберем

последовательность

wu

со2, •••>

•••

так,

чтобы ряд

(29) сходился

п. н.

(Q,). Теперь,

применяя

теорему 5

 

 

 

 

оо

 

 

при Я„ = е - 2 л ш

" , получаем, что ряд

2 е А

сходится п. н.

 

 

 

 

I

 

 

То же самое справедливо при замене сходимости огра­ ниченностью. Этим заканчивается доказательство тео­ ремы 6.

Наиболее важное приложение теоремы 6 будет касаться случайного тригонометрического ряда, записан­ ного в форме

21епапеш

или 2 апе1п

^~2яап).

—оо

—оо

 

Сходимость (или ограниченность) почти наверное имеет место для обоих рядов, либо она не имеет места ни для одного из них. Этот факт будет использован в гл. V.

 

 

7. Упражнения

1. Пусть

хи

хп, ...—последовательность дей­

ствительных

чисел.

Докажите, что существует такая

 

 

оо

матрица суммирования S, что ряд 2*л является 5-сум-

мируемым.

(Рассмотрите два случая: 1) частные суммы стре­ мятся к бесконечности; 2) существует сходящаяся по­ следовательность частных сумм.)

2. Пусть

Х\, Х2,

...,

Хп, . . . — независимые

действи-

 

 

 

 

оо

 

 

 

тельные случайные

величины. Ряд

2

Хп

называется

существенно

сходящимся,

 

1

 

 

 

если существует такая после­

довательность действительных чисел

хи

• • •,

хп,

. . . , что

оо

 

 

 

 

 

 

оо

РЯД

—хп) сходится п. н. Докажите, что ряд 2 %п

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

41

существенно сходится тогда и только тогда, когда

он

5-суммируем для некоторой матрицы суммирования 5.

(Теорема 2 и упр. 1.)

 

 

3.

Верно

ли предыдущее утверждение, если

Х\, ...,

Хп,

. . . — независимые случайные

векторы в ба­

наховом пространстве?

 

 

 

(Нет, если банахово пространство бесконечномерно.)

4.

Пусть

В — комплексное банахово

пространство,

/ — корень

m-й степени

из единицы

(jm=l),

а 5 — ма­

трица

суммирования.

 

 

 

Предположим, что Хи

Х2, • • •, Хп,

. . . — независимые

случайные векторы в В и для каждого п случайные векто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

ры Хп

и jXn подобны. Докажите, что если ряд 2

Хп

п. н.

S-суммируем,

то он п. н.

сходится.

Если же

он п. н.

S-ограничен,

то

он п. н. ограничен.

 

 

 

 

 

 

(Доказательство

аналогично

доказательству

тео­

ремы

1; интересен

случай,

когда

т нечетно.)

 

 

=

5. Пусть

дана

действительная матрица

{апт)

{п =

1,2

v; т. =

1, 2, . . . , ц) и положительные

числа

Ьи

. . . . 6V. Пусть

— число решений

системы

 

 

 

 

2

аптът\

<Ьп

( л = 1 , 2, . . . . v), 1\

 

 

 

 

8 т =

±

1

 

(т =

1, 2, . . . , Ц,), J

 

 

a

N2 — число

решений системы

 

 

 

 

 

 

 

 

2

аптет

< 2Ьп

(я =

1,.2,

. . . , v),

]

 

 

 

 

ет—

±

1

 

( m = 1, 2,

 

(л).

1

 

 

Оцените снизу

N2

через

i . Докажите,

что из неравен­

ства

N2 < 2Ц

следует неравенство

<

2Ц —2( м , - 1 ) / 2 . (Тео­

рема

3.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Пусть В — действительное или комплексное бана­ хово пространство, a G — компактная группа унитарных

42

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II

 

 

 

 

 

операторов из В в В,

содержащая

оператор

симметрии

(х —>—х).

 

Пусть

 

 

«„,...—последовательность

векторов

в

В,

a

Yi>

• • • >

Уп,

•••—последовательность

независимых случайных унитарных операторов из G,

равно

 

распределенная

относительно меры Хаара (т. е.

каждый оператор уп

задает некоторую вероятность на G,

которая

есть

не

что иное,

как

мера Хаара).

Докажите

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

теоремы

3,

4

и 5,

заменив

в

них

ряд 2 е л " л

рядом

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 УпИп-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Доказательства

те

же. Наиболее важный момент

состоит

в том,

что

для каждого

т

случайные

унитар­

ные

Операторы

Vl.

Y2.

 

 

Ym.

 

Y m Y m + l . YmYm+2.

•••

являются

независимыми.)

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Обозначения

те

же,

 

что

и

в упр. 6.

Докажите,

 

 

 

 

 

со

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

что оба

ряда

2

е л " п и 2

Y

A п - н -

сходятся,

либо

п. н.

расходятся, оба они п. н. ограничены, либо п. н. неограничены.

 

(Доказательство

аналогично

доказательству

тео­

ремы

6.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Пусть В есть /n-мерное

евклидово

пространство,

а

Хи

Х2, • -.,

Хп,

...

—независимые

случайные

векторы

в

В,

равномерно

распределенные

на

единичной

сфере

(т. е. || Хп (со) I I — 1 п. н. и для

каждого

подмножества

Д

единичной

сферы

вероятность

Р{ХпщА)

 

равна

мере

А

с

точностью

до

постоянного

множителя).

Докажите

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

оо

 

 

теоремы 3,

4,5, заменив в них ряд 2sn"n рядом 2^nll ип

II-

 

(Упражнение 6; см. также

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

гл. I I I . )

 

 

 

 

 

 

 

9.

Пусть

В — комплексное

банахово

пространство,

щ,

и2,

 

ы„, ...—последовательность

векторов

в

В,

а

Хи

Х2, ...,

Хп,

. . .

и У,, . . . ,

Yn,

...

— две

последо­

вательности

независимых симметрических комплексных

случайных

величин,

таких,

что

sup | Хп

(со) | <

со

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0), п

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы