Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

53

Т е о р е м а 6. Ряд

2 Un п-

«• сходится

или расхо-

дится в зависимости

1

сходится или

расходится

от того,

ряд 2«"та

 

 

 

I

Д о к а з а т е л ь с т в о . В первом случае <^2^nj<°°,

а во

втором

<^JJ(l —

—

Остается заметить,

 

оо

оо

 

 

что

ряды 2

Un и 2 U'n сходятся или расходятся одно-

 

1

1

 

 

временно.

5.Необходимые и достаточные условия для сходимости и ограниченности

Вернемся

к

независимым

случайным

векторам

Х п

в Н . Положим

 

 

если

|| X„ (со) | | < 1,

 

Хп(а>)

=

Хп((и),

 

Х'а(Ф=

 

ц ^ Ц ц •

если

\ \ Х Я Ш > 1 ,

 

т. е. Х'п является

проекцией

Х п

на замкнутый единич­

ный шар в Я . В случае, когда

Х п симметричны,

мы

имеем следующее

простое

утверждение.

 

 

Т е о р е м а

 

7.

Предположим,

что Х п

симметричны

 

 

 

 

 

 

 

Ьо

и задана матрица

сдммирования

S . Тогда ряд

^Хп

i либо п. к. сходится, либо п. н. не является S-ограни- ченным, смотря по тому, сходится или расходится ряд

liViX'n).

Д о к а з а т е л ь с т в

о . Воспользуемся

методом, опи­

санным на стр. 20—21.

Обозначим через

первоначаль­

ное вероятностное пространство, через Qg —другое веро­

ятностное пространство, а через е ь

е„, . . .

—после­

довательность Радемахера, определенную на

й е . Слу-

54 ГЛАВА III

чайный ряд 2 гп.Хп (определенный на произведении i

оо

Qe X &х) подобен ряду 2 Хп. Если мы зафиксируем Хп,

оо

то ряд 2 е « ^ п будет рядом Радемахера, определенным

1

на Qe , а мы знаем, что он п. н. сходится или п. н. неограничен, смотря по тому, сходится или расходится

ОО

00

ряд 2 I I Хп II2 (теоремы 2 и 4). Далее, ряд 2 I I Хп ||2, рас-

i

1

сматриваемый как положительный случайный ряд на 0,Х, п. н. сходится или п. н. расходится, смотря по тому,

оо

сходится или расходится ряд 2 ^ (Х'п) (теорема 6). Со-

1

оо

гласно теореме Фубини, ряд 2 гпХп п. н. сходится (на

Qe X &х)

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

и

л и

п - н -

неограничен

 

в

зависимости

от

того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

сходится

или

расходится

ряд 2

У (Х'п).

То

же

самое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

на основании подобия справедливо для

ряда

2

Хп.

Если Хп

не предполагаются

симметрическими,

то мы

имеем

еще одно

необходимое

 

и

достаточное условие

для сходимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

8.

Для

сходимости

почти

наверное

ряда

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ^ п

необходимо

и достаточно,

чтобы оба ряда

 

 

 

 

 

2

#

д

а

и

 

ЪУ(ХП)

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

сходились

 

(первый

в

Н,

второй

 

в

R).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

оо

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ряды

 

2

l n и

2 Х' п

сходятся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

или расходятся одновременно (в то же время они не обязательно одновременно ограничены). Поэтому мы можем ограничиться случаем | | J t „ | | ^ l , т. е. Xn = Xii-

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

55

Если 2 V(Xn)

< оо, то ряд 2 (Хя

— &{Хп))

п. н. схо-

1

1

со

 

 

 

 

дится (теорема

2). Следовательно,

ряд 2 Хп

п. н. схо-

 

 

1

 

дится или п. н. расходится в зависимости от того, схо-

дится или расходится

ряд

со

^8(Х„).

 

 

1

 

со

оо,

 

 

Если же 2 У (Хп) =

то

воспользуемся методом

I

 

 

 

симметризации (см. стр. 20—21). Введем вспомогательное вероятностное пространство и вспомогательный случай­ ный ряд. Полагая

Хп (со, со') = Хя (со), Хп (со, со') = Хп (©0 ((со, со') s Q X О), рассмотрим ряд

i

как случайный ряд на Q X Q. Очень простые выкладки дают

V(Xn-Xn) = 2V(Xn),

и следовательно, величины Хп — Хп независимы, сим­ метричны и равномерно ограничены. Поэтому ряд

оо

2

{Хп — Хп)

сходится

с

нулевой

вероятностью. Но так

 

1

со

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как ряды

2

Хп и S l „

подобны,

то они

оба сходятся

с

вероятностью, равной

нулю.

Этим

доказательство

теоремы 8

заканчивается.

 

 

6.Упражнения

1.Предположим, что Un —подобные независимые по­

ложительные случайные величины и lim х*Р

{Un^x)=

Х - » со

 

= 1, а

> 0.

Найдите

условие

на

числа

ап

(0 =^а„ ^

1/2),

необходимое

и достаточное

для

того?

56 ГЛАВА III

чтобы

случайный

ряд ^anUn

был

п. н.

сходящимся.

 

 

 

 

 

 

1

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тот же вопрос

для

ряда

^(anUn)q

(q >

0).

 

 

(Примените

теорему

6;

i

 

имеет

вид

 

 

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

,a>q;

 

 

 

 

 

 

 

2 а „ < ° ° >

 

если

 

п. н.

2 ( а я £ / „ ) ' < « > ф П

Sa«logi<00' если

а=<?;

 

 

 

 

 

 

 

2 й ° < о о ,

 

если

 

a<q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

Заметьте, что

при а <

1 имеем

п. н. 2

о«^п <

0 0

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ффп.н. 2 ( a n t / n ) 2 < ° ° . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

ОО

 

 

 

2. Если

ап^0

 

и

2 « п = °°,

то ряд 2a„cos2 (ra£ + <P/i)

расходится

почти

 

i

 

 

 

 

I

 

 

 

всюду.

частные

суммы

ряда

равно­

(В

противном

случае

мерно

ограничены

на

множестве

Е

положительной

меры; проинтегрируйте его по множеству

Е и

приме­

ните теорему Римана — Лебега.

Замечание после

тео­

ремы 5 обеспечивает лишь расходимость рассматри­

ваемого ряда

на

множестве

положительной меры.)

3. Пусть

nlt

itj, ...

—последовательность нату­

ральных чисел, такая, что никакое из них нельзя пред­

ставить более

чем

одним способом

в

виде

± nk.

 

 

оо

 

 

 

Предположим,

что

ряд 2 ' 7 C 0 S ( ' V +

Ф/)

( г / ^ 0 )

с х о "

дится на множестве положительной меры. Докажите,

оо

что 2 Г / < 0 0 •

1 '

(Положите Q — [0, 2л], X,- = cos (П/i -4- ф/), подсчитайте &(XjXk) и IS (Х/Д/Д/Д/,) и докажите, что можно при­ менить неравенство (1) теоремы 3 (см. стр. 48—49),)

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Г И Л Ь Б Е Р Т О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

5 7

4. Пусть d(h — положительная мера на прямой; L | — гильбертово пространство, состоящее из функций, ин­ тегрируемых с квадратом относительно da, причем

\\f\\2—j\f2{x)\d<b{x). Предположим, что задана после­ довательность /|, / 2 fn, • • • функций из La и после­ довательность Х\, Х2, Хп, ••• симметрических не­

зависимых действительных или комплексных случайных

оо

величин, таких, что ряд 2

Xnfn п. н. сходится

в L%.

0 0

1

 

 

 

Докажите, что ряд ^Xnfn(x)

почти наверное сходится

почти всюду относительно

da(x).

 

(Примените принцип редукции, теоремы 2

и 4 на

стр. 48 и 50.)

 

 

5. Тот же вопрос, но при условии, что вместо схо-

оо

димости почти наверное ряда 2 Xnfn предполагается, что

 

 

 

 

i

 

 

 

средние Чезаро

 

~~n)^rfi

п " н " 0 Г Р а

н и ч е н ы

в ^-а-

(Доказательство то

же самое.)

 

 

6.

Обозначения

те же, что и выше. Приведите при-

 

 

оо

 

 

 

 

 

мер,

когда ряд 2

XJn

(*) п. н.

сходится

почти

всюду

 

 

1

 

 

 

я

 

 

 

d<b(x), а средние

 

-j^j^ift

относительно

Чезаро

~

не ограничены в Lf f l .

 

 

1

 

 

 

 

 

(da(x) = dx

на

[0,

1], /„(*) =

*", Хп =

еп.)

 

Смотрите также файлы