Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Г л а в а IV

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

где коэффициенты ХП — независимые случайные ком­ плексные величины, а 2 — комплексные числа. Если со фиксировано, то может случиться, что радиус сходи­ мости ряда (1) отличен от нуля; тогда ряд (1) предста­ вляет функцию F(z, и), которая регулярна в некоторой окрестности нуля. Мы будем просто писать

0 0

Согласно закону нуля и единицы, вероятности таких событий (если они существуют) равны либо нулю, либо единице.

Идея рассмотрения таких рядов восходит к Э. Борелю (1896 г.). Он писал:

«Если коэффициенты произвольны, то круг сходи­ мости является полной областью сходимости . . . Ска­ зать, что коэффициенты произвольны, это значит сказать (исключая условие, которое вытекает из того, что радиус сходимости задан), что значения первых п коэффициен­ тов не оказывают никакого влияния на значения по­ следующих» (см. [7]).

Это была интересная идея, но все же не точное утверждение. Лишь в 1929 г. Г. Штейнгауз [1]доказал

следующую теорему: если гп — положительные числа1 удовлетворяющие условию

О < Шгп'п < о о ,

а соп — независимые случайные величины, равнораспределенные на [0, 1], то ряд

почти наверное имеет свою окружность сходимости

п=о

где знаки ± образуют последовательность Радемахера. Мы увидим, что эти теоремы можно получить довольно простым способом (см. п. 2 и 3).

Однако утверждение Бореля теряет силу, если слова «коэффициенты произвольны» заменить словами «коэф­ фициенты являются независимыми случайными величи­ нами». Например, ряд

ряда (3), либо для ряда (4); точнее, либо ряд (2) имеет окружность сходимости в качестве естественной гра­ ницы, либо к ряду (1) можно прибавить некоторый ряд Тейлора так, чтобы полученный в результате случайный ряд Тейлора имел строго больший круг сходимости в качестве своей естественной области сходимости. Это предположение доказал Рыль-Нарджевский'(1) в 1953 г.; в п. 4 мы дадим упрощенное доказательство.

Эти результаты нетрудно распространить на случай­ ные ряды Тейлора двух комплексных переменных. Мы

60 ГЛАВА IV

ограничимся рядом

со со

где еп<т = ± 1—независимые случайные величины Раде­ махера. В качестве следствия мы получим замечатель­ ную теорему Картана—Туллена о том, что область схо­ димости всегда является областью голоморфности (п. 5).

Это измеримая функция со, причем она не зависит от значений конечного числа членов последовательности Хп. Согласно закону нуля и единицы (см. стр. 18), эта функ­ ция (почти наверное) постоянна на Q, т. е.

г (со) = г п. н. 0 < Г < со.

Число г называется радиусом сходимости ряда (1). Мы

регулярной. Подмножество окружности \z\ = r, состоя­ щее из регулярных точек, называется регулярным.

Пусть задана замкнутая дуга / на окружности | z | = г; докажем, что со-множество вида «дуга / регулярна для функции F (z)» является событием. Мы можем ограни­ читься такими точками со, что г(со) = л; кроме того,

мы можем предположить, что средней точкой дуги / является точка г, т. е.

/ = {«<«, | а | < р )

при некотором р < л. Дуга / регулярна тогда и только тогда, когда функцию F можно продолжить аналити­ чески в некоторый круг

| z — х К | ге''Р — х | - f е

(О < х < г, в > 0). Кроме того, мы можем рассматри­ вать лишь рациональные х. Иными словами, дуга /

для некоторого рационального х. При всяком данном х неравенство (6) является событием, и мы рассматриваем

рациональными дугами. Рассмотрим все рациональные дуги, которые п. н. регулярны, й пусть 01 обозначает их объединение. Почти наверное имеет место событие: все рациональные дуги, содержащиеся в 01, регулярны и никакая другая рациональная дуга не является регу­ лярной. Следовательно, 01 п. н. является множеством всех регулярных точек на окружности | z\ = r. Это мно­ жество является открытым строгим подмножеством окружности сходимости. Мы назовем 01 регулярным множеством функции F.

3. Симметрический случай

Предположим теперь, что Хп — симметрические слу­ чайные величины, т. е. Хп и — Хп имеют одно и то же распределение. Если задана произвольная последова-